Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

56<br />
iQ + kP'=<br />
0<br />
Ondas eletromagnéticas<br />
(3.26b)<br />
Desta forma, obtemos equações diferenciais, que embora não lineares, são<br />
de primeira ordem, e consequentemente fáceis de serem resolvidas. A<br />
solução da eq. (3.26a) resulta em:<br />
Q(<br />
z)<br />
k<br />
=<br />
z + q<br />
0<br />
(3.27)<br />
onde q0 é uma constante de integração, que será analisada posteriormente.<br />
Utilizando este resultado na eq. (3.26b) é fácil mostrar que:<br />
⎛ z ⎞<br />
P(<br />
z)<br />
= −iln<br />
⎜<br />
⎜1<br />
+<br />
⎟<br />
⎝ q0<br />
⎠<br />
(3.28)<br />
Podemos agora substituir os valores de P(z) e Q(z) na eq. (3.24)<br />
para encontrarmos a função ψ(r,z). Antes porém, vamos re-escrever a<br />
constante de integração como q 0 = iz0, com z0<br />
real. A razão de se<br />
considerar q0 imaginário é que esta é a única maneira de se obter uma<br />
solução que está confinada em torno do eixo z; caso contrário, o campo<br />
elétrico se estenderia exponencialmente até o infinito e esta é uma solução<br />
que não nos interessa. Desta forma temos:<br />
e<br />
{ − iP(<br />
z)<br />
} = exp{<br />
− ln[<br />
1−<br />
i(<br />
z / z ) ] }<br />
exp<br />
0<br />
1<br />
= =<br />
1−<br />
i(<br />
z / z0<br />
)<br />
1<br />
1+<br />
( z / z<br />
−1<br />
exp{<br />
i tg ( z / z0<br />
) }<br />
2<br />
)<br />
⎧ Q(<br />
z)<br />
r<br />
exp⎨−<br />
i<br />
⎩ 2<br />
⎫<br />
⎬ =<br />
⎭<br />
⎪⎧<br />
2<br />
kr ⎛ z − iz<br />
= exp⎨−<br />
i ⎜<br />
⎪⎩<br />
2 ⎜ 2<br />
⎝ z + z<br />
2<br />
⎪⎧<br />
2<br />
k ⎛ r<br />
exp⎨−<br />
i ⎜<br />
⎪⎩ 2 ⎜<br />
⎝ z + iz<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞⎪⎫<br />
⎟<br />
⎬<br />
⎠⎪⎭<br />
⎪⎫<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎧ r ikr ⎫<br />
⎟<br />
⎬ = exp⎨−<br />
− 2 ⎬<br />
⎠⎪⎭<br />
⎩ w ( z)<br />
2R(<br />
z)<br />
⎭<br />
onde as grandezas w(z) e R(z) foram introduzidas como:<br />
{ } { } 2<br />
2 2<br />
1+<br />
(z/<br />
z ) = w 1 (z/<br />
z )<br />
2<br />
0<br />
w (z)<br />
0<br />
0 +<br />
(3.29)<br />
(3.30)<br />
2z<br />
= 0 (3.31a)<br />
k<br />
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