Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

20 Óptica de raios<br />
y0<br />
y<br />
índice maior<br />
θi-1<br />
θi<br />
índice menor<br />
Fig. 2.3 - Desvio de um raio de luz que incide na mistura água-álcool a uma<br />
altura y0. A magnitude do desvio foi exagerada para melhor<br />
visualização.<br />
onde n e dn/dy]<br />
0 y0 são respectivamente o índice de refração e seu<br />
gradiente na altura y0. A seguir, vamos utilizar a lei de Snell, que já era<br />
conhecida experimentalmente em 1621. Para isto, vamos imaginar a<br />
região de transição água-álcool dividida num grande número de lâminas<br />
planas e paralelas, de espessuras tão finas quanto se queira, de forma que<br />
em cada uma delas o índice de refração pode ser considerado constante.<br />
As lâminas são paralelas ao eixo z e, portanto perpendiculares à direção<br />
em que n varia. O paralelismo entre as faces de cada lâmina é motivado<br />
pelo fato de n variar apenas ao longo de y. Podemos aplicar a lei de Snell<br />
na interface que separa duas lâminas consecutivas i e i-1: ni-1 sen θi-1= ni<br />
senθ , onde θ<br />
i i é o ângulo que o raio faz com o eixo y. Como o índice de<br />
refração é constante em cada uma das lâminas, o raio se propaga em linha<br />
reta até a próxima interface, onde chega com o ângulo de incidência θi.<br />
Novamente aplicamos a lei de Snell: ni senθ = n<br />
i i+1 sen θi+1. Desta forma, o<br />
produto nsenθ mantém-se constante conforme o raio se propaga pelas<br />
diferentes lâminas. Tomando o limite em que as espessuras das lâminas<br />
tendem a zero, obtemos a lei de Snell generalizada:<br />
n ( y)<br />
sen θ(<br />
y)<br />
=<br />
constante<br />
i+1<br />
i<br />
i-1<br />
z<br />
(2.2)<br />
que estabelece que o ângulo θ varia continuamente com y, conforme n<br />
varia. Podemos ainda trabalhar com o ângulo β(y) que o raio faz com as<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações