Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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Óptica não linear 301<br />Este conjunto de equações diferenciais de segunda ordem pode ser<br />simplificado usando uma aproximação que supõe que a amplitude varia<br />lentamente numa distância correspondente a um comprimento de onda. A<br />variação rápida com a distância está contida no termo de fase, que será<br />colocado em evidência como:<br />r r<br />E ( ω,<br />z ) = ∈ ( ω,<br />z ) exp { i(<br />kz − ω t ) } , onde ∈ (ω,<br />z)<br />r<br />é a amplitude<br />da onda. Como a variação desta amplitude é muito pequena para<br />distâncias da ordem de λ, podemos tomar: k<br />z z<br />2<br />2 r r<br />∂ ∈ ∂ ∈<br />
302<br />r<br />2<br />∂ ∈ iμ0ω<br />r<br />3 NL<br />= P ( ω3<br />= ω1<br />+ ω2,<br />z)<br />exp 3 ω<br />∂z<br />2k<br />3<br />{ − i(<br />k z − t)<br />}<br />onde a componente i da polarização não linear é dada por:<br />P<br />⎡<br />Óptica não linear<br />S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />3<br />(16.20)<br />NL<br />( 2)<br />{ i(<br />k1z−ω1t<br />) } { i(<br />k2z−ω<br />2t<br />)}<br />i ( ω3, z)<br />= ε0<br />⎢∑<br />χijk<br />( ω3<br />= ω1<br />+ ω2)<br />E1jE<br />2k<br />⎥ e e<br />(16.21)<br />j,<br />k<br />⎣<br />Para simplificar, podemos escrever o termo da somatória entre<br />colchetes como P3i (ω3 = ω1 + ω2), de forma que a eq. (16.20) assume a<br />forma:<br />∂ ∈<br />∂z<br />iμ0ω<br />=<br />2k<br />3<br />2<br />3<br />0 3 3 Δ<br />3<br />⎤<br />⎦<br />ε P ( ω ) exp{<br />i kz}<br />(16.22)<br />onde a polarização P3(ω3) e o campo gerado ∈3( ω3)<br />tem a mesma direção,<br />de forma que apenas suas amplitudes foram consideradas. O termo Δk =<br />k1+k2-k3 é conhecido como desajuste de fases ou descasamento de fases.<br />Como as amplitudes E1 e E2 são constantes, P3(ω3) também o será e a eq.<br />(16.22) é facilmente integrada, resultado em:<br />2<br />μ0ω3<br />∈ 3 ( z)<br />= ε0P3<br />( ω3)<br />[ exp{<br />iΔkz}<br />−1]<br />(16.23)<br />2k<br />Δk<br />3<br />onde a condição inicial ∈ 3 ( z = 0)<br />foi usada. A intensidade do campo<br />gerado em ω3 é dada por:<br />I<br />3<br />( z)<br />2<br />1<br />2<br />2 sen(<br />kz/<br />2)<br />2<br />cn 0 3 P3<br />( 3)<br />⎡ Δ<br />= ε ∈ ≈ ω<br />⎤<br />z (16.24)<br />2<br />⎢⎣ Δkz/<br />2 ⎥⎦<br />que, de acordo com a eq. (16.21), é proporciona a I1 e I2. O gráfico desta<br />intensidade como função de Δkz/2 está mostrado na Fig. 16.1. O primeiro<br />zero ocorre em π e para um determinado Δk, o comprimento que a luz<br />deve percorrer para atingir esta condição é o chamado comprimento de<br />coerência, dado por ℓc = 2π/Δk. Por exemplo, se ℓc = 1 cm, Δk = 2π cm -1 e<br />para a luz visível, Δk/k ≈ 10 -4 . A condição de máxima eficiência é atingida
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