Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

Óptica de cristais<br />
de propagação sˆ . O sistema formado por esta equação tem três equações<br />
homogêneas, que só tem solução não trivial se o seu determinante for<br />
igual a zero, ou seja:<br />
n<br />
2<br />
xx<br />
+ n<br />
n<br />
2<br />
s<br />
2<br />
y<br />
2<br />
n s s<br />
z<br />
2 ( s −1)<br />
s<br />
x<br />
x<br />
x<br />
n<br />
2<br />
yy<br />
n<br />
s<br />
+ n<br />
s<br />
2<br />
x y<br />
2<br />
y<br />
2<br />
n s s<br />
2 ( s −1)<br />
z<br />
y<br />
+ n<br />
2 ( s −1)<br />
= 0<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
n<br />
2<br />
zz<br />
n<br />
n<br />
s<br />
s<br />
2<br />
x z<br />
2<br />
sys<br />
z<br />
2<br />
z<br />
275<br />
(14.22)<br />
Desse determinante resulta uma equação biquadrada, cujas raízes<br />
fornecem quatro valores para n. Só iremos considerar as raízes positivas,<br />
uma vez que n é positivo por definição. Se usarmos como sistema de<br />
2<br />
referência os eixos dielétricos principais, que diagonalizam o tensor n t , a<br />
equação biquadrada terá uma forma mais simples. Usando novamente a<br />
eq. (14.8), temos:<br />
4 2<br />
An + Bn + C = 0<br />
(14.23)<br />
onde:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
A = n s + n s + n s<br />
(14.24a)<br />
x<br />
x<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
( 1−<br />
s ) n n + ( 1−<br />
s ) n n + ( 1 s ) n n<br />
x<br />
y<br />
z<br />
y<br />
y<br />
y<br />
B = − (14.24b)<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
y<br />
z<br />
2<br />
z<br />
z<br />
z<br />
C = n n n<br />
(14.24c)<br />
Resolvendo a eq. (14.23) encontramos os dois valores possíveis para n.<br />
Para se obter as componentes do campo elétrico, referentes a cada valor<br />
de n, basta substitui-lo na eq. (14.21).<br />
z<br />
14.4 Superfície normal<br />
Usando as eqs. (14.14) e (14.19) podemos escrever a eq. (14.17)<br />
na seguinte forma:<br />
⎛ωµε<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
− k<br />
k<br />
k<br />
y<br />
z<br />
k<br />
k<br />
2<br />
y<br />
x<br />
x<br />
− k<br />
2<br />
z<br />
ωµε<br />
y<br />
k<br />
− k<br />
k<br />
x<br />
z<br />
k<br />
k<br />
y<br />
2<br />
x<br />
y<br />
− k<br />
2<br />
z<br />
ωµε<br />
z<br />
k<br />
k<br />
x<br />
y<br />
k<br />
k<br />
− k<br />
z<br />
z<br />
2<br />
x<br />
x<br />
− k<br />
y<br />
2<br />
y<br />
⎞⎛E<br />
x ⎞<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎟⎜<br />
E y ⎟ = 0<br />
⎟⎜<br />
E ⎟<br />
⎠⎝<br />
z ⎠<br />
(14.25)