Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

28 Óptica de raios<br />
Para finalizarmos esta seção, vamos aplicar a equação dos raios à<br />
análise da propagação de luz pela mistura de água e álcool. O uso da eq.<br />
(2.31) é em geral simples na aproximação paraxial, onde o desvio do raio<br />
é pequeno. Neste caso, ds está praticamente na direção z e assim podemos<br />
substituir d/ds por d/dz. Como a trajetória do raio se dá no plano yz,<br />
escrevemos , de onde tiramos kˆ r<br />
k d r/<br />
dz = dy/<br />
dz jˆ +<br />
ˆ r<br />
= yjˆ<br />
+ z<br />
. O gradiente<br />
de n pode ser calculado a partir da eq. (2.1) e resulta em j ˆ<br />
∇n = dn / dy<br />
r<br />
.<br />
Substituindo estas grandezas na equação dos raios obtemos:<br />
d<br />
dz<br />
dn<br />
k jˆ<br />
dy<br />
ˆ<br />
⎡ ⎛ dy ⎞⎤<br />
⎢n(<br />
y)<br />
⎜ jˆ + ⎟ =<br />
dz<br />
⎥<br />
(2.32)<br />
⎣ ⎝ ⎠⎦<br />
Como n(y) não depende de z, ele pode ser tirado para fora da derivada. k<br />
é um vetor constante e sua derivada relativa a z é nula. Portanto, da<br />
equação vetorial (2.32) sobra apenas a componente na direção , dada por:<br />
ˆ<br />
jˆ<br />
y0<br />
⎡<br />
2<br />
dn ⎤ d y<br />
⎢n<br />
0+<br />
( y − y 0 ) ⎥ = 2<br />
⎢ dy<br />
⎣<br />
dz<br />
y ⎥<br />
0 ⎦<br />
dn<br />
dy<br />
y0<br />
y0<br />
(2.33)<br />
onde n(y), dado pela eq. (2.1) já foi substituido.<br />
Na aproximação paraxial, o raio se desvia pouco do eixo z (y ≈ y0)<br />
e além disto dn/dy é pequeno. Logo podemos desprezar o segundo termo<br />
entre colchetes do lado esquerdo da equação e assim obtemos uma<br />
expressão onde a derivada segunda de y é constante (equação da<br />
parábola). A solução desta equação é simples e leva aos resultados já<br />
obtidos anteriormente:<br />
que implica em:<br />
de forma que:<br />
2<br />
d y 1 dn<br />
= (2.34)<br />
2<br />
dz n dy<br />
dy<br />
dz<br />
0<br />
y0<br />
1 dn<br />
= z<br />
(2.35)<br />
n dy<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
0<br />
y0