Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

A fase da onda eletromagnética 77<br />
⎛ x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y ⎟<br />
⎜ ⎟,<br />
z<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ict<br />
⎠<br />
⎛ k x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ k y ⎟<br />
⎜ ⎟,<br />
k z ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝iω/<br />
c⎠<br />
⎛ p x ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ p y ⎟<br />
⎜ p ⎟<br />
z ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝iE<br />
0/<br />
c⎠<br />
O produto escalar de dois quadrivetores é feito como normalmente<br />
se multiplicam matrizes. Como exemplo, tomemos o produto dos dois<br />
primeiros quadrivetores mostrados acima:<br />
r v<br />
φ = kxx + kyy + kzz - ωt = k. r − ωt<br />
(4.24)<br />
que é a fase da onda plana. Como o produto escalar de quadrivetores é<br />
invariante quando se muda de um referencial inercial para outro, a fase da<br />
onda plana é a mesma quando vista por observadores<br />
em O e O’.<br />
(iv) Efeito Doppler longitudinal:<br />
Considere uma onda plana propagan do-se na direção do eixo x<br />
r<br />
( k = kî<br />
). A fase vista pelo observador em O será φ = kx - ωt e em O’<br />
r v<br />
será φ’ = k'. r'−ω'<br />
t'<br />
= kx’x’+ ky’y’+ kz’z’- ω’t’, isto é, estamos supondo<br />
que em O’ a onda se propaga numa direção arbitrária. Como φ = φ’ temos:<br />
kx - ωt = kx’x’+ ky’y’+ kz’z’- ω’t’ (4.25)<br />
Usando as transformações dadas pela eq. (4.23), obtemos:<br />
⎛ vx'<br />
⎞<br />
γ ( x'+<br />
vt')<br />
− ωγ⎜<br />
t'+<br />
= k'<br />
x x'+<br />
k'<br />
y y'+<br />
k'<br />
z'−ω'<br />
t'<br />
2 ⎟<br />
(4.26)<br />
⎝ c ⎠<br />
k z<br />
Igualando os coeficientes de<br />
cada coordenada temos as seguintes relações:<br />
Mas como k = ω/c então,<br />
k ’ = k ’ = 0<br />
y z (4.27a)<br />
k x’ = γ (k-<br />
ω v<br />
) 2<br />
c<br />
(4.27b)<br />
ω’ = γ (ω-kv) (4.27c)<br />
1−<br />
v/<br />
c<br />
ω '=<br />
ω<br />
e consequentemente,<br />
2 2<br />
1−<br />
v / c<br />
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