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Difração 179<br />
Desta expressão vemos que os raios das zonas de Fresnel são dados por R1<br />
= λL<br />
, R 2 = 2λ L ,....., Rn<br />
= nλL.<br />
Assim, se a n-ésima zona for<br />
definida pelo raio interno R n e pelo raio externo Rn+1,<br />
sua área será<br />
2<br />
2 2<br />
π R n+<br />
1 − πR<br />
n = πR<br />
1 , sendo portanto independente de n. Desta forma, as<br />
áreas das zonas de Fresnel são todas iguais. Como a fase muda de sinal ao<br />
se passar de uma zona para a próxima, pois:<br />
Podemos escrever:<br />
λ<br />
= k = π<br />
2<br />
k( r1<br />
+ r2<br />
) n+<br />
1 − k(<br />
r1<br />
+ r2<br />
) n<br />
(8.37)<br />
U 1 2 3 4<br />
( P)<br />
= U − U + U − U + .... (8.38)<br />
onde Un é a contribuição da n-ésima zona ao campo difratado. Como as<br />
áreas das zonas de Fresnel são iguais, os módulos das contribuições de<br />
cada uma será aproximadamente igual. Desta forma, se abertura circular<br />
contiver um número inteiro de zonas e se este número for par, o campo<br />
difratado será aproximadamente nulo e haverá uma mancha escura no<br />
centro do padrão de difração. Por outro lado, se o número de zonas de<br />
Fresnel for ímpar, o campo difratado terá apenas a contribuição de U 1 .<br />
Na prática, o valor de Un decresce lentamente com n devido ao fator de<br />
obliqüidade e à dependência radial dada pelo produto r1 r2<br />
que aparece no<br />
denominador. Isto faz com que o campo difratado no ponto P seja metade<br />
da contribuição da primeira zona sozinha no caso de uma abertura circular<br />
infinitamente grande (n →∞).<br />
Para verificarmos este fato podemos reescrever<br />
a eq. (8.38) como:<br />
U( P)<br />
= ½ U1<br />
+ ( ½ U1<br />
− U 2 + ½ U 3 ) + ( ½ U 3 − U 4 + ½ U 5 ) + ....<br />
(8.39)<br />
Os termos entre parênteses são aproximadamente nulos uma vez<br />
que o valor de U n é igual á média aritmética dos dois U’s adjacentes.<br />
Desta forma, o campo difratado no ponto P é aproximadamente igual a ½<br />
U quando não existir abertura (n →∞).<br />
1<br />
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