Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

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A fase da onda eletromagnética 77<br />⎛ x ⎞<br />⎜ ⎟<br />⎜ y ⎟<br />⎜ ⎟,<br />z<br />⎜ ⎟<br />⎜ ⎟<br />⎝ict<br />⎠<br />⎛ k x ⎞<br />⎜ ⎟<br />⎜ k y ⎟<br />⎜ ⎟,<br />k z ⎜ ⎟<br />⎜ ⎟<br />⎝iω/<br />c⎠<br />⎛ p x ⎞<br />⎜ ⎟<br />⎜ p y ⎟<br />⎜ p ⎟<br />z ⎜ ⎟<br />⎜ ⎟<br />⎝iE<br />0/<br />c⎠<br />O produto escalar de dois quadrivetores é feito como normalmente<br />se multiplicam matrizes. Como exemplo, tomemos o produto dos dois<br />primeiros quadrivetores mostrados acima:<br />r v<br />φ = kxx + kyy + kzz - ωt = k. r − ωt<br />(4.24)<br />que é a fase da onda plana. Como o produto escalar de quadrivetores é<br />invariante quando se muda de um referencial inercial para outro, a fase da<br />onda plana é a mesma quando vista por observadores<br />em O e O’.<br />(iv) Efeito Doppler longitudinal:<br />Considere uma onda plana propagan do-se na direção do eixo x<br />r<br />( k = kî<br />). A fase vista pelo observador em O será φ = kx - ωt e em O’<br />r v<br />será φ’ = k'. r'−ω'<br />t'<br />= kx’x’+ ky’y’+ kz’z’- ω’t’, isto é, estamos supondo<br />que em O’ a onda se propaga numa direção arbitrária. Como φ = φ’ temos:<br />kx - ωt = kx’x’+ ky’y’+ kz’z’- ω’t’ (4.25)<br />Usando as transformações dadas pela eq. (4.23), obtemos:<br />⎛ vx'<br />⎞<br />γ ( x'+<br />vt')<br />− ωγ⎜<br />t'+<br />= k'<br />x x'+<br />k'<br />y y'+<br />k'<br />z'−ω'<br />t'<br />2 ⎟<br />(4.26)<br />⎝ c ⎠<br />k z<br />Igualando os coeficientes de<br />cada coordenada temos as seguintes relações:<br />Mas como k = ω/c então,<br />k ’ = k ’ = 0<br />y z (4.27a)<br />k x’ = γ (k-<br />ω v<br />) 2<br />c<br />(4.27b)<br />ω’ = γ (ω-kv) (4.27c)<br />1−<br />v/<br />c<br />ω '=<br />ω<br />e consequentemente,<br />2 2<br />1−<br />v / c<br />S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações
78<br />A fase da onda eletromagnética<br />1−<br />v/<br />c<br />ν '=<br />ν<br />(4.28)<br />1+<br />v/<br />c<br />que é a fórmula do efeito Doppler<br />longitudinal obtida pela relatividade<br />restrita. Para recuperarmos a fórm ula clássica devemos expandir<br />este<br />resultado para v
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306 O gráfico desta função
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