Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

40 Óptica de raios<br />
que nos leva à equação de propagação de raios:<br />
2<br />
d r<br />
n = ∇n<br />
2<br />
dz<br />
r<br />
r<br />
(2.80)<br />
Podemos comparar este resultado com a equação dos raios obtida<br />
anteriormente. Usando a aproximação paraxial (d/ds→d/dz) na eq. (2.31)<br />
e realizando a primeira derivada com respeito a z, temos:<br />
r 2r<br />
dn dr<br />
d r r<br />
+ n = ∇n<br />
(2.81)<br />
2<br />
dz dz dz<br />
Vemos então que o primeiro termo desta equação não aparece em (2.80).<br />
Para efeitos práticos isto não tem muita importância, pois a duas equações<br />
são válidas apenas na aproximação paraxial, que só tem sentido quando a<br />
variação de n é muito pequena. Na solução da eq. (2.81), despreza-se em<br />
geral o primeiro termo e aproxima-se n por n 0 no segundo termo.<br />
Podemos entender a ausência do termo proporcional a dn/dz em<br />
(2.80) re-escrevendo o potencial óptico como:<br />
2 2 2 2 2 2 2 r<br />
r ⎡ h ω n ⎤ ⎡ ω ( − ) ⎤<br />
0 h n 0 n ( r)<br />
V(<br />
r)<br />
= ⎢E<br />
− ⎥ + 2 ⎢<br />
2 ⎥⎦ (2.82)<br />
⎣ 2mc<br />
⎦ ⎣ 2mc<br />
que corresponde a um termo constante e outro muito pequeno. Para<br />
passarmos do caso quântico para o clássico devemos ter h → 0. Isto<br />
significa que os níveis de energia do sistema são quase contínuos e para<br />
isto o potencial deve variar lentamente no espaço. Assim, o primeiro<br />
termo de (2.81) pode ser considerado como de segunda ordem e portanto<br />
desprezado.<br />
Em conclusão, introduzimos um potencial óptico com o qual<br />
obtivemos uma equação que descreve a propagação dos raios na<br />
aproximação paraxial. Este conceito é interessante porque através dele<br />
podemos entender porque os raios de luz procuram sempre as regiões de<br />
maior índice de refração (menor potencial). Como exemplo, numa fibra<br />
óptica o núcleo possui índice de refração levemente superior ao da casca,<br />
o que garante que os raios de luz fiquem confinados próximos ao seu<br />
centro.<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações