Óptica Moderna Fundamentos e aplicações - Fotonica.ifsc.usp.br ...

34 Óptica de raios<br />
2<br />
v f<br />
=<br />
ds<br />
dt<br />
E E E<br />
= r = =<br />
(2.57)<br />
∇W<br />
p 2mT<br />
onde T = p /2m é a energia cinética da partícula. Deste modo, vemos que<br />
a velocidade de fase aumenta quando a velocidade da partícula diminui.<br />
Entretanto, como veremos posteriormente, é a velocidade de grupo<br />
(velocidade de um pacote de onda) que é igual à velocidade da partícula, e<br />
não a velocidade de fase.<br />
ds r<br />
W = a W’ = a + Edt<br />
A (0) = a A (dt) = a<br />
Fig. 2.9 - Propagação da superfície A(t)=a no espaço das configurações.<br />
Para realizarmos uma comparação formal entre a óptica<br />
geométrica e a mecânica clássica, vamos inicialmente mostrar que a<br />
equação do eikonal tem sua origem na óptica ondulatória no limite em que<br />
λ → 0. Para isto não podemos usar a equação de ondas na forma reduzida,<br />
dada pela eq. (2.37), mas sim sua forma completa, que envolve a derivada<br />
temporal. Esta equação, que será deduzida no Cap. 3, é dada por:<br />
2 r 2<br />
2 n ( r)<br />
∂ E<br />
∇ E − = 0<br />
(2.58)<br />
2 2<br />
c ∂t<br />
onde o aspecto vetorial do campo elétrico foi ignorado para simplificar as<br />
contas. A solução desta equação é obtida generalizando-se a eq. (2.38) de<br />
acordo com:<br />
r<br />
E(<br />
r<br />
r<br />
B( r ) ik0<br />
[ S(<br />
r ) −ct]<br />
, t)<br />
= e e<br />
(2.59)<br />
r r<br />
onde a amplitude do campo elétrico foi escrita como E 0 ( r)<br />
= exp{ B(<br />
r)}<br />
por conveniência. A substituição de (2.59) em (2.58), que será deixada<br />
como exercício, nos leva a:<br />
S. C. Zilio Óptica Moderna – Fundamentos e Aplicações<br />
r