I særlig grad kan tankeg

I særlig grad kan tankegangskompetencen være vanskelig at få indikationer på med skriftlige opgaver af den type, som anvendes i PISA, og der arbejdes da også her på udviklingen af PISA-framework frem mod PISA 2012. Til dato har det ikke vist sig muligt at opgøre PISA-resultater særskilt i forhold til de otte kompetencer, blandt andet fordi opgavespørgsmål oftest involverer mere end en af kompetencerne; men bestræbelsen vil blive intensiveret i PISA 2012. Tre kompetencekategorier i PISA Mens der ikke er opgørelser på disse otte kompetencer, så gav datamaterialet i 2003 mulighed for at opgøre PISA-resultater på det, der betegnes som kompetencekategorier (engelsk: competency clusters): reproduktion, sammenhæng og refleksion, hvilket ikke har været muligt i 2006 og 2009. Kategorierne er delvist udtryk for stigende sværhedsgrad, og de adskiller sig med hensyn til arten og graden af fortolkning og refleksion, arten og antallet af repræsentationer, kompleksitet samt typer og niveauer af ræsonnement (OECD, 2009, s. 121). Reproduktionskompetence omfatter hovedsageligt reproduktion af praktiseret viden. Disse kompetencer involverer viden om fakta og almindelige problemstillinger, genkendelse af ligninger, erindring om velkendte matematiske objekter og egenskaber, udførelse af rutineprocedurer, anvendelse af standardalgoritmer og tekniske færdigheder samt manipulation af udtryk med symboler og formler i kendt form og beregninger. Sammenhængskompetence bygger på reproduktionskompetencer, hvad angår videreførelse af problemløsningen til situationer, der ikke er rutineprægede, men som stadig indbefatter kendte og halvkendte forhold. Disse kompetencer kræver som regel en form for argumentation, der fx forbinder forskellige overordnede idéområder og/eller forskellige repræsentationer i disse, der kan knyttes til problemstillingen. Refleksionskompetence omfatter en vis refleksionsevne fra elevens side, der knytter sig til processer i behandlingen af et problem. Den relaterer sig til elevernes evne til at planlægge løsningsstrategier og implementere dem i problemstillinger, der indeholder flere elementer, og som eventuelt er mere ‘originale’ (eller ukendte) end problemstillingerne i forbindelse med sammenhængskompetence. Skematisk kan det udtrykkes som figuren på næste side. En nærmere analyse af 2003-data af den relative vanskelighed for eleverne i hvert enkelt land ved spørgsmål med henholdsvis reproduktion, sammenhæng og refleksion, viser for det første, at reproduktion i alle lande indebærer de simpleste kognitive krav, derefter kommer sammenhæng og derpå refleksion som de sværeste krav. Det viser sig også, at reproduktion er relativt meget let for danske elever sammenlignet internationalt, mens refleksion er relativt meget svært for danske elever sammenlignet internationalt. Dette mønster understøttes, når man sammenligner procentandel rigtige svar i henholdsvis reproduktion, sammenhæng og refleksion fra elever i de nordiske lande med OECD- Kapitel 3 – Matematik 115

PISA 2009 – Danske unge i en international sammenligning 116 Reproduktionskompetence Standardrepræsentations ... Rutineberegninger Rutineprocedurer Rutinepræget problemløsning Matematisk kompetence Sammenhængskompetence Udformning Standard problemløsning, omdannelse og fortolkning Flere veldefinerede metoder Refleksionskompetence gennemsnittet, så viser det sig, at elever i alle de nordiske lande klarer sig bedst i reproduktion og sammenhæng. Specielt for danske elever viser det sig, at det samlede resultat, som i 2003 og 2006 var ganske pænt, først og fremmest beror på mange korrekte svar inden for reproduktion. Ligeledes er de norske elevers præstationer båret oppe af reproduktion (Turmo m.fl. 2003; Kjærnsli m.fl. 2004 s. 63 f.). Resultaterne kunne tyde på, at der er relativt meget individuelt skriftligt arbejde i dansk matematikundervisning. Det peger videre i retning af, at man kunne styrke danske elevers præstationer samlet set med større og klarere udfordringer til refleksion og med større gad af effektfuld kommunikation og kreativitet. Fagligt stof i fire overordnede idéområder og i discipliner Kompleks problemløsning og problemfremstilling Reflektering og indsigt Oprindelig matematisk indfaldsvinkel Flere komplekse metoder Generalisering I forlængelse af ønsket om at teste for fremtidsrelevante kompetencer er det matematiske stof ikke som udgangspunkt organiseret i matematiske discipliner fra skolefaget eller videnskabsfaget, for matematiske udfordringer fremtræder jo ikke uden for skolen som ‘algebra’ eller som ‘geometri’. Det matematiske stof er derimod i første omgang organiseret i PISA efter fænomenområder – med reference til Freudenthals begrundelse er our mathematical concepts, structures, ideas (…) invented as tools to organise the phenomena of the physical, social and mental world (1983 p. ix). En opdeling af matematisk stof efter fænomenområder kan etableres på forskellige måder, som det ses hos Devlin (1997) og Steen (1990, 1997), og i PISA sker der en opdeling i fire fænomenområder, hvilket betegnes som overordnede idéområder, på engelsk: overarching ideas, som er Rum og form, Forandringer og sammenhænge, Størrelser samt Usikkerhed.