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186 8 Dynamik der Gravitation
Damit ergibt sich
∂m ¯ h mn
=
d3k (2π) 3 ikx
2k0e ia
†
4 ¯ k n + 1
√ a
2 †
5k n + | k|a †
9n n 1 + |k|a †
10n n 2+. . . , (8.136)
wobei die Punkte für die komplex konjugierten Terme stehen. Die Lorenzbedingung ist
genau dann erfüllt, wenn die Amplituden von ∂m ¯ h mn verschwinden, wenn also
0 = a †
4 = a †
5 = a †
9 = a †
10
(8.137)
gilt. Nur 6 der 10 Amplituden erfüllen auch die Lorenzbedingung.
Gilt die Lorenzeichung in einem Koordinatensystem, dann gilt sie auch in Koordinaten
x ′ (x), wenn die neuen Koordinatenfunktionen die Wellengleichung
√ gg kl ∂k∂lx ′ n = 0 (8.138)
erfüllen (F.6). Dabei ändert sich die metrische Dichte √ gg mn = η mn − ¯ h mn gemäß
g ′ g ′mn (x ′ ) = √ gg kl ∂kx ′ m ∂lx ′ n
∂x
det
∂x
′
. (8.139)
Ändern sich die Koordinaten nur wenig um ξ m , x ′ m = x m −ξ m , und entwickeln wir nach
ξ m und ¯ h mn , so bewirkt solch eine kleine Koordinatentransformation in erster Ordnung
die Änderung
δ ¯ h mn = ∂ m ξ n + ∂ n ξ m − ∂lξ l η mn
(8.140)
der Abweichung der Metrik vom flachen Raum.
Dabei müssen in dieser Näherung die Felder ξ m die Wellengleichung ξ m = 0 erfüllen.
Sie sind daher Wellenpakete, die sich mit den Polarisationsvektoren als
ξ m
(x) =
d 3 k
(2π) 3 2k 0 eikóxn m 1 c †
1 + n m 2 c †
2 + k m c †
3 + ¯ k m c †
4+. . . (8.141)
schreiben lassen. Bei der zugehörigen Koordinatentransformation ändert sich ¯ h mn um
∂ m ξ n + ∂ n ξ m − ∂lξ l η mn = (8.142)
d 3 k
(2π) 3 2k 0 i(k m n n i + k n n m i )c †
i + 2k m k n c †
3 + (k m¯ k n + k n¯ k m )c †
4 − 2 k 2 c †
4η mne ikóx + . . . .
Für die Koeffizienten bei c †
4 gilt
k m¯ k n + k n¯ k m − 2 k 2 η mn = 2 √ 2 k 2 ǫ ∗ mn
6 . (8.143)
denn auf die Basis kn, ¯ kn, n1 n und n2 n angewendet stimmen beide Seiten überein.
Demnach lassen sich mit infinitesimalen Koordinatentransformationen (8.140) die vier
Amplituden a †
7, a †
8, a †
3 und a †
6 durch die vier Amplituden c † additiv verändern und wegeichen
0 = a †
3 = a †
6 = a †
7 = a †
8 . (8.144)
8.9 Gravitationswellen 187
Eine Gravitationswelle enthält folglich pro Wellenvektor 10 − 4 − 4 = 2 unabhängige,
physikalische Amplituden, nämlich a †
1 und a †
2. In der durch (8.144) ergänzten Lorenzeichung
ist die Gravitationswelle doppelt transversal, das heißt, ihre Amplituden erfüllen
kma † mn = 0 und ¯ kma † mn = 0, und sie ist spurfrei ηmna † mn = 0.
Weil sie spurfrei ist, stimmt bei einer Gravitationswelle hmn (8.108) mit ηmkηnl ¯ h kl
überein.
Ebene Welle
Besteht die Gravitationswelle in einem x-Bereich nur aus Anteilen mit Wellenvektoren
gleicher Richtung, weil sie von einer von x weit entfernten Quelle abgestrahlt wurde,
und wählen wir die Richtung zur Quelle als negative z-Achse, so hat die physikalische
Amplitude a †
1( k) näherungsweise die Form
a †
1( k) = 2 √ 2(2π) 2 δ(kx)δ(ky)|kz|Θ(kz) a † (kz) (8.145)
und die zugehörige Gravitationswelle ist in diesem Bereich
∞dk
h11 = −h22 =
0 2πe −ik(z−t) a † (k) + e ik(z−t)
dk
a(k)=
2π eik(t−z)˜ −
h(k) = h(x ) ,
˜h(k) =a † (k) falls k > 0
a(−k) falls k < 0
x − = t − z .
, (8.146)
Entsprechend gehört die zweite physikalische Amplitude a †
2 einer Gravitationswelle in
z-Richtung zu
h12 = h21 = k(x − ) (8.147)
Eine ebene Gravitationswelle, die sich in z-Richtung ausbreitet, gehört also zur Metrik
gmndx m dx n = (dt) 2 −(dx) 2 −(dy) 2 −(dz) 2 +h(x − )((dx) 2 −(dy) 2 )+2k(x − )dx dy (8.148)
Die Gravitationswelle besteht aus Anteilen der Helizität +2 und −2. Das heißt, unter
Drehungen, die den Wellenvektor k invariant lassen, in unserem Fall unter Drehungen
um die z-Achse,
x = x ′ cosα − y ′ sin α , y = x ′ sin α + y ′ cosα , (8.149)
transformieren h und k mit dem doppelten Drehwinkel. Denn es gilt
h k(dx) 2 − (dy) 2=h
2α − sin 2α
kcos
2dx dy
sin 2α cos 2α(dx ′ ) 2 − (dy ′ ) 2
2dx ′ dy ′
(8.150)
und daher h ′
k ′=cos 2α sin 2α
− sin 2α cos 2αh k. (8.151)
Insbesondere sind die komplexen Linearkombinationen h ± ik Eigenvektoren
h ′ ± ik ′ = e ∓2iα (h ± ik) . (8.152)
Der hier bei iα auftretende Koeffizient ∓2 ist die Helizität.