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278 E Konforme Abbildungen
Da die Killingfelder an jedem Punkt des maximal symmetrischen Raumes den Tangentialraum
aufspannen, ist jeder maximal symmetrische Raum ein Orbit (B.23). Dies
ist für K = 0 der Minkowski-Raum R p,q = ISO(p, q)/SO(p, q) mit der flachen Metrik
gmn = ηmn. Für K = 0 ist er ein Quotient der universellen Überlagerung des Orbits
SO(p, q + 1)/SO(p, q) oder SO(p + 1, q)/SO(p, q) und lokal isometrisch zur Fläche
z M z N ηMN = −K −1 , M, N = 1, 2, . . ., d + 1 , (E.44)
im d+1 dimensionalen flachen Raum R p,q+1 oder R p+1,q . Diese Fläche wird von Lorentz-
transformationen des einbettenden Raumes auf sich abgebildet. Sie bilden die maximale,
1d(d
+ 1)-dimensionale Isometriegruppe dieser Fläche. Insbesondere ist die Metrik eines
2
d dimensionalen, maximal symmetrischen Raumes festgelegt durch den Wert der Konstante
K und durch die Signatur p − q, also durch die Anzahl p und q = d − p von
Vektoren einer orthogonalen Basis mit positivem und negativem Längenquadrat.
Quotienten der universellen Überlagerung werden zum Beispiel in [68, 69] untersucht.
Zu Killingvektoren gehörige Erhaltungsgrößen
Zu jedem Killingvektor ξm gehört bei frei fallenden Teilchen die Erhaltungsgröße
Qξ = u m ξm . (E.45)
Es bezeichnet u m den normierten Tangentialvektor (6.7) an die Weltlinie des Teilchens,
das die zur Wirkung (6.5) gehörige Euler-Lagrange-Gleichung (6.9)
−gmnd
ds un + dxk
ds Γkl n u l=−gmn
δ
δs un = 0 (E.46)
erfüllt. Daß Qξ sich längs der Weltlinie nicht ändert, bestätigt man elementar durch
kovariante Differentation δ
δs
= dxn
ds Dn längs der Weltlinie
δ
δsu m ξm= δum
δs ξm + u mdxn
ds Dnξm . (E.47)
Der erste Term verschwindet aufgrund der Euler-Lagrange-Gleichung und der zweite
m dxn
aufgrund der Killinggleichung (E.29), denn die Doppelsumme mit u ds ∝ umun symmetrisiert
in den Summationsindizes (5.19).
Ein Killingtensor ist nach Definition total symmetrisch und seine total symmetrisierte,
kovariante Ableitung verschwindet. Mit der Schreibweise (A.67), daß runde Klammern
um Indizes vollständige Symmetrisierung bezeichnen, erfüllt ein Killingtensor
ξm1m2...mn = ξ(m1m2...mn) , D(m0 ξm1m2...mn) = 0 . (E.48)
Die gleiche Rechnung wie bei Killingvektoren zeigt, daß bei frei fallenden Teilchen zu
jedem Killingtensor ξm1m2...mn die Erhaltungsgröße
Qξ = u m1 u m2 . . .u mn ξm1m2...mn
(E.49)
E.2 Killinggleichung 279
gehört. Gemäß Noether-Theorem (4.51) gehört zu dieser Erhaltungsgröße bis auf einen
Faktor −m n c folgende infinitesimale Symmetrie der Wirkung (6.5)
δx k = g km1 u m2 . . . u mn ξm1m2...mn . (E.50)
Jeder Killingvektor ξ definiert zusammen mit der kovariant erhaltenen Energie-Impulstensordichte
T mn einen erhaltenen Strom j m = T mn ξn (7.7). Um mit Killingtensoren
der Stufe n einen erhaltenen Strom zu konstruieren, bräuchte man einen kovariant
erhaltenen, total symmetrischen Tensor T (mm1m2...mn) , j m = √ g T (mm1...mn) ξ(m1...mn).
Uhren auf Meereshöhe
Uhren werden auf der Erdoberfläche durch die Erddrehung mitgeführt und gehen daher
vergleichsweise langsamer als unbewegte Uhren. Die Drehung bewirkt aber auch eine
Abplattung des Erdballs, aufgrund derer die schneller bewegte Uhr am Äquator weiter
vom Erdmittelpunkt entfernt ist als die am Nordpol ruhende Uhr. Idealisieren wir
die Meeresoberfläche als überall waagerecht, also als überall senkrecht zur Lotrechten,
á=
so bewirken die unterschiedliche Gravitation und die unterschiedliche Geschwindigkeit
insgesamt, daß Uhren auf Meereshöhe synchron laufen.
Denn die Uhren auf Meereshöhe durchlaufen in der Schwarzschildmetrik (und in der
Kerr-Metrik) mit festem r und θ und konstanter Winkelgeschwindigkeit Ω = 2π/Tag
Weltlinien x(t), die Integralkurven eines Killingfeldes ξ sind,
á,
á.
t
r(t) r(0)
0
x(t) =t
˙x = ξ =1
(E.51)
θ(t) θ(0)
0
ϕ(t) t Ω + ϕ(0)
Ω
In Koordinatenintervallen t läuft auf den Uhren die Eigenzeit τ = √ ξ 2 t ab. Uhren auf
einer Fläche O, die aus Weltlinien x(t) mit festem ξ 2 besteht, O = {x : ξ 2 (x) = konst},
laufen daher synchron.
Da ξ 2 auf der Fläche synchroner Uhren konstant ist, verschwindet u m ∂mξ 2 für jeden
Tangentialvektor u an Kurven, die in O verlaufen. Zusammen mit der Killing-Gleichung
Dmξn = −Dnξm (C.109) folgt hieraus
0 = 1
2 um ∂m ˙x 2 = u m ˙x n (Dm ˙xn) = −u m ( ˙x n Dn ˙xm) , (E.52)
daß u senkrecht auf der Beschleunigung b m ∝ ˙x n Dn ˙x m steht, also waagerecht ist. Insbesondere
ist ˙x waagerecht, die Länge jedes Killingvektors ist längs seiner Integralkurve
konstant.
Da alle Tangentialvektoren an die Fläche synchroner Uhren waagerecht sind, ist O
waagerecht. Umgekehrt ist ξ 2 konstant auf waagerechten Flächen, die aus Integralkurven
eines Killingfeldes bestehen. Auf Meereshöhe mit der Erddrehung mitgeführte Uhren
laufen synchron.