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206 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Dabei ist Q = Q(e1, e2 . . .ed) die Ladungsdichte und
π∈Sn
sign(π) u1 π(1) . . . ud π(d)
(A.63)
der Faktor, um den die Abbildung u1∧u2 · · ·∧ud größer als die von Einheitsspat bewirkte
Abbildung e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ ed ist.
Insbesondere bestimmt dieser Faktor, ob die Kanten u1, u2 . . . ud linear abhängig sind.
Dann verschwindet er, weil diese Kanten nur eine niedriger dimensionale Punktmenge
aufspannen. Weil dieser Faktor bestimmend dafür ist, ob die Vektoren u1, u2 . . . ud linear
unabhängig sind, heißt er Determinante.
Differentialformen
Eine Differentialform ω vom Grad p am Ort x, oder kürzer eine p-Form, ist eine in p
Vektoren (u1, u2, . . .,up) lineare und total antisymmetrische Abbildung. In der Koordinatenbasis,
ui = ui m ∂m, hat ω wegen der Multilinearität die Form
ω(u1, u2, . . .up) = u1 m1 u2 m2 . . .up mp ωm1m2...mp
mit total antisymmetrischen Komponenten
(A.64)
ωm1m2...mp = ω[m1m2...mp] = ω(∂m1, ∂m2, . . ., ∂mp) . (A.65)
Dabei verwenden wir eckige oder runde Klammern um Indizes
T[m1m2...mp] = 1
π p! sign(π) Tmπ(1)mπ(2)...m , π(p) (A.66)
T(m1m2...mp) = 1
(A.67)
π
p! Tm π(1)m π(2)...m π(p)
zur Bezeichnung des total antisymmetrischen oder total symmetrischen Anteils. Die Summe
erstreckt sich über alle Permutationen π der natürlichen Zahlen bis p.
Weil in (A.64) die Komponenten u1 m1 u2 m2 . . .up mp mit ω[m1m2...mp] summiert werden,
trägt nur ihr total antisymmetrischer Anteil bei
u1 [m1 u2 m2 . . .up mp] = u[1 m1 u2 m2 . . . up] mp = 1
p! εi1i2...ip m1 m2 mp
ui1
ui2 . . .uip . (A.68)
Die p-Formen dx m1 dx m2 . . .dx mp mit mit m1 < m2 < · · · < mp, die (u1, u2, . . .up) auf
das antisymmetrisierte Produkt ihrer Komponenten abbilden
dx m1 dx m2 . . .dx mp : (u1, u2, . . .up) ↦→ ε i1i2...ip m1 m2 mp
ui1
ui2 . . .uip , (A.69)
bilden an jedem Punkt eine Basis für p-Formen,
ω = 1
p! dxm1 dx m2 . . .dx mp ωm1m2...mp =
m1