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302 G Die Noethertheoreme
bei δx die Eulerableitung der Lagrangefunktion L
δL = δx ˆ ∂L d
+
ˆ∂x dt ZL ,δx , (G.7)
ZL ,δx = k
(−1)
kd
dtk ∂L
∂x(k+l+1)d l
dtlδx , (G.8)
k,l
ˆ∂L
n
dn
= (−1)
ˆ∂x dtn ∂L
n
∂x(n)
. (G.9)
Dabei haben wir die Notation x(n) = dn x
dt n für die Jet-Variablen verwendet.
Die Eulerableitung verschwindet genau dann identisch in den Jet-Variablen, wenn die
Lagrangefunktion eine Ableitung ist (G.62).
Multipliziert man Dv mit einer Funktion u, so definiert das Abwälzen der Ableitungen
von v auf u den transponierten Differentialoperator D T
uDv = u
fnd n v = d Xu,D,v + (D T (u)) v , (G.10)
Xu,D,v =
D T u =
D T =
n
k,l(−1) k d k (fk+l+1u)d l v, (G.11)
(−1)
n
n d n (fnu) , (G.12)
(−1)
k
l
k+l (d l fk+l)d k . (G.13)
Der transponierte Operator D T hängt linear von D ab. Wenn wir seine Koeffizientenfunktionen
komplex konjugieren, erhalten wir den adjungierten Operator D † = (D T ) ∗ .
u und v treten in der algebraischen Identität (G.10) bilinear wie in einem Skalarprodukt
auf, ohne daß es sich bei ihnen um Vektoren eines Hilbertraums handeln muß.
G.2 Symmetrie und erhaltene Ströme
Wir betrachten eine einparametrige Gruppe Tα von Transformationen, die Felder φl auf
Felder abbilden und die so parametrisiert sei, daß Tα ◦Tβ = Tα+β gilt und folglich T0 zur
identischen Abbildung gehört. Als infinitesimale Transformation oder Änderung δφl(x)
bezeichnen wir die Ableitung der Transformation bei α = 0
δφl(x) = d
dα Tαφl(x) . (G.14)
α=0
Wir nennen eine Transformation lokal, wenn δφl(x) nur von den Jet-Variablen, den Koordinaten
x und den Feldern φn(x) und endlich vielen ihrer Ableitungen ∂m1 . . . ∂mrφn(x),
an diesem Punkt, nicht aber von φn(y) oder seinen Ableitungen an einem anderen Punkt
y = x abhängt.
G.2 Symmetrie und erhaltene Ströme 303
Die Wirkung W[Tαφ] ändert sich nach Definition der Variationsableitung (5.189) bis
auf Randterme um
δW = d 4 xδφl(x) δW
.
δφl(x)
(G.15)
Die Transformation Tα heißt Symmetrie der Wirkung W[φ], wenn sich die Wirkung
nur um Randterme ändert, das heißt genauer [23], wenn sich der Integrand in (G.15)
identisch in den Jet-Variablen als Summe von Ableitungen schreiben läßt
δW
δφl + ∂mj
δφl
m = 0 . (G.16)
Physikalische Felder erfüllen δW
= 0, demnach gehört zu jeder Symmetrie der Wirkung
δφl
ein Strom jm , der die Kontinuitätsgleichung erfüllt, falls die Felder die Bewegungsgleichungen
erfüllen!
Da nach dem algebraischen Poincaré-Lemma (G.59), dessen Beweis wir an das Ende
dieses Kapitels verschieben, die Identität ∂mJ m = 0 für Funktionen Jm der Jet-Variablen
genau dann gilt, wenn die Funktionen Jm = ∂nBnm die Ableitung beliebiger, unter
Vertauschung der Indizes antisymmetrischer Funktionen Bmn der Jet-Variablen sind,
∂mJ m = 0 ⇔ J m = ∂nB nm , B mn = −B nm , (G.17)
ist der zur Symmetrie gehörige Strom eindeutig bis auf einen trivialen Strom
j m trivial = ∂nB mn , B mn = −B nm . (G.18)
Jeder triviale Strom erfüllt die Kontinuitätsgleichung unabhängig davon, welchen Gleichungen
die Felder genügen, aus denen B mn zusammengesetzt ist. Die zugehörige Ladung
QV in einem Volumen V ist durch die Werte von B 0i auf dem Rand ∂V des Volumens V
bestimmt,
QV = d
V
3 xj 0
= d
V
3 x∂iB 0i
d
∂V
2 f i B 0i . (G.19)
Die Lagrangedichte L einer lokalen Wirkung bleibt unter jeder infinitesimalen Symmetrietransformation
wegen (5.197) und (5.200)
ˆ∂L ∂L
δL = δφl + ∂kδφl
ˆ∂φl ∂(∂kφl),
bis auf vollständige Ableitungen ∂mK m mit K m = δφl
Der erhaltene Strom ist daher
δW
δφl
= ˆ ∂L
ˆ∂φl
∂L
∂(∂mφl) − jm ungeändert
ˆ∂L ∂L
δL = δφl + ∂mδφl
ˆ∂φl ∂(∂mφl)=∂mK m . (G.20)
j m = δφl
∂L
∂(∂mφl) − Km + ∂nB nm , B mn = −B nm . (G.21)