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200 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
δm n =0 falls m = n ,
1 falls m = n , zum Beispiel δ1 1 = 1, δ1 2 = 0 , (A.29)
und sind eine Basis für Kovektoren, ω|x = dx m ωm(x) mit ωm(x) = ω|x(∂m),
ω|x(u) = u m (x) ω|x(∂m) = dx m |x (u) ωm(x) . (A.30)
Ein duales Vektorfeld heißt auch Differentialform oder Einsform.
Insbesondere ist die Änderung df einer Funktion die Summe der Änderungen dx n
ihrer Argumente multipliziert mit den partiellen Ableitungen
df = dx n ∂nf . (A.31)
Nicht jede Einsform ω(x) = dx m ωm(x) ist die Änderung df einer Funktion f. Dazu ist
wegen ∂m∂nf = ∂n∂mf erforderlich und in sternförmigen Gebieten auch hinreichend,
daß die antisymmetrisierten Ableitungen der Komponentenfunktionen verschwinden,
ω = df ⇔ ∂mωn − ∂nωm = 0 . (A.32)
Für die Koordinatendifferentiale dx ′ eines anderen Koordinatensystems besagt (A.31)
dx ′ l l
n∂x′
= dx
Auch sie bilden eine Basis des Dualraumes. Aus ω = dx ′ l ω ′ l
man ab
Satz von Frobenius
. (A.33)
∂xn = dxn ∂x′ l
∂x n ω ′ l = dxn ωn liest
′ l ∂x
∂xn ω′ l(x ′ (x)) = ωn(x) . (A.34)
Wenn in einem d-dimensionalen Raum in einer Umgebung durch jeden Punkt mit Koordinaten
x i , y a , i = 1, . . .,p, a = 1, . . ., d − p, p-dimensionale Flächen y a (x) gehen, die
die Differentialgleichungen
∂iy a = ui a (x, y) (A.35)
oder, in Formensprache, θ a := dy a −dx i ui a = 0 erfüllen, dann folgt aus (∂i∂j−∂j∂i)y a = 0
notwendig die Integrabilitätsbedingung
∂iuj a + ui b ∂buj a − ∂jui a − uj b ∂bui a = 0 (A.36)
nicht nur als Identität in x, wenn man für y eine Lösung y(x) einsetzt, sondern als
Identität in den Variablen x und y, da (A.35) an jedem Punkt x für alle y gilt.
Umgekehrt existieren in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes x Lösungen
y a (x) von (A.35) für jeden beliebigen, bei x vorgegebenem Wert y a = y a (x), wenn die
Integrabilitätsbedingung (A.36) identisch in x und y erfüllt ist.
Zum Beweis dieses Satzes von Frobenius betrachten wir in einer Umgebung eines
Punktes x eine Schar von Kurven Γt : s ↦→ x(s, t) durch diesen Punkt, x(0, t) = x.
Die Umgebung sei genügend klein, so daß alle Verbindungskurven zweier Punkte ineinander
verformt werden können. Für jeden Wert von t definiert die Lösung z a (s, t) des
gewöhnlichen Differentialgleichungssystems
∂z a
∂s
201
= ∂xi
∂s ui a (x, z) , z a (0, t) = y a , (A.37)
stetig differenzierbare Funktionen von s und t.
Für die Ableitung von ∂tz a − ∂tx i ui a (x, z) folgt wegen ∂s∂tz a = ∂s∂tz a nach Differenzieren
und nach Einsetzen von (A.37)
∂
∂s∂z a
∂t
+ ∂xi
∂s
∂x j
− ∂xi
∂t
b
a=
∂xj a∂z
ui ∂buj
∂s ∂t
b ∂xi
− ui
∂t
∂t∂jui a − ∂iuj a + uj b ∂bui a − ui b ∂buj a.
(A.38)
Dies ist ein linear homogenes Differentialgleichungssystem für ∂tz a − ∂tx i ui a , denn die
zweite Zeile verschwindet (A.36), und die Lösung ∂tz a − ∂tx i ui a = 0 ist eindeutig durch
die Anfangswerte ∂tz a |s=0 = 0 = ∂tx i |s=0 bestimmt.
Wegen ∂tz a − ∂tx i ui a = 0 hängt der Funktionswert z a (s, t) nur vom Punkt x(s, t)
und nicht von der Kurve Γt von x nach x(s, t) ab: gehen nämlich zwei Kurven durch
denselben Punkt x, so können sie ineinander verformt werden und gehören zu einer Schar
Γt von Kurven durch diesen Punkt. Für diese Schar gilt x(s, t) = x identisch in t, also
∂tx i (s, t) = 0 und ∂tz a (s, t) = 0. Folglich hängt z a (s, t) nicht von t, also nicht von der
Kurve zum Punkt x ab. Es definiert daher z a (s, t) durch z a (s, t) = y a (x(s, t)) überall in
der Umgebung von x Funktionen y a (x). Weil dort überall ∂tz a = ∂tx i ∂iy a = ∂tx i ui a gilt,
egal welchen Wert ∂tx i hat, löst y a (x) die Gleichung ∂iy a = ui a (A.35).
Gerade und ungerade Permutationen
Permutationen π der natürlichen Zahlen bis n sind invertierbare Selbstabbildungen
π : (1, 2, . . ., n) ↦→ (π(1), π(2), . . ., π(n)) . (A.39)
Sie bilden die Permutationsgruppe von n Elementen, die auch symmetrische Gruppe
heißt und daher mit Sn bezeichnet wird.
Die Fehlstellung a(π) zählt in (π(1), π(2), . . ., π(n)) ab, wie oft ein π(i) größer als
ein rechts davon stehendes π(j) ist. Mit der Stufenfunktion Θ(x), die für positive x
den Wert Eins und sonst den Wert Null hat, schreibt sich die Fehlstellung als a(π) =
i