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298 F Einige Standardformen der Metrik
Auf einen Achsenabschnitt angewendet erzeugen SO(3)-Transformationen eine vierdimensionale
Mannigfaltigkeit, die aus Kugelschalen besteht. Diese Kugelschalen schneiden
den Abschnitt genau einmal, wenn er genügend klein gewählt ist.
Jeder Punkt r in einer genügend kleinen Umgebung von p läßt sich daher als g(q)
schreiben, wobei q = Or ∩ O ⊥ p der eindeutige Schnittpunkt des Orbits durch r mit
der Achse durch p ist und g ∈ SO(3) eindeutig bis auf eine Stabilitätstransformation
h ∈ Hp = Hq ist, g ′ (q) = g(q) ⇔ g ′ −1 g = h ∈ Hq.
Verwenden wir in der vierdimensionalen Raumzeit für die Achse O ⊥ p Koordinaten ui ,
i = 0, 1, und Kugelkoordinaten θ und ϕ für SO(3)/SO(2), so hat die Metrik in der
Umgebung U die Form
gmndx m dx n = gij(u)du i du j + k(u)(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (F.21)
Denn jeder Orbit ist eine maximal symmetrische Kugelschale und die Metrik auf jeder
Kugelschale liegt daher bis auf einen Vorfaktor k(u) fest, der von Orbit zu Orbit
verschieden sein kann. Das Längenquadrat gij(u)du i du j von Tangentialvektoren an die
Achse durch p ist nicht weiter eingeschränkt. Tangentialvektoren an T ⊥ q stehen in allen
Punkten q der Achse durch p senkrecht auf den Orbits. Daher treten keine Mischterme
dθdu und dϕdu auf. Die Isometrien g ∈ SO(3) lassen die Skalarprodukte und die Koordinaten
u i , i = 0, 1, invariant und verschleppen die Tangentialvektoren an die Achse
durch p in Tangentialvektoren mit gleichen Komponenten am Punkt g(p). Daher hat die
Metrik nicht nur auf der Achse durch p, sondern überall in U die angegebene Form.
Da die Raumzeit die Signatur −2 hat, ist der Faktor k(u) negativ und kann dort,
wo seine Ableitung nicht verschwindet, zur Definition der Koordinate r, k(u) = −r 2 ,
verwendet werden. Wie auf Seite 294 diskutiert, kann man in der zweidimensionalen
Achse durch p zu gegebenen Schichten mit konstantem r eine weitere Koordinate t
einführen, so daß die Metrik gij(u)du i du j dort, wo die Fläche r = konst nicht lichtartig
ist, blockdiagonal wird. Dort hat die Metrik die Form
gkl(x)dx k dx l = gtt(t, r)(dt) 2 + grr(t, r)(dr) 2 − r 2 (dθ) 2 − r 2 sin 2 θ(dϕ) 2 , (F.22)
die wir als Ansatz zur Berechnung der Schwarzschildlösung verwenden.
Der de Sitter-Raum
Ein de Sitter-Raum ist eine Fläche von Punkten (t,x, w),
t 2 − x 2 − w 2 = −α 2 , α = konst , (F.23)
im flachen fünfdimensionalen Raum R 1,4 . Er hat die Topologie R × S 3 , denn für jedes
t ∈ R bilden die Lösungen (x, w) von x 2 +w 2 = α 2 +t 2 eine Kugelschale S 3 . Insbesondere
sind die Schichten gleicher Zeit, t = konst, kompakt.
Lorentztransformationen SO(1, 4) des einbettenden Raumes R 1,4 bilden den de Sitter-
Raum isometrisch auf sich ab; er ist maximal symmetrisch und konform flach, allerdings
nicht maximal konform symmetrisch, da der konforme Faktor bei Abbildung auf R × S 3
mit Standardmetrik nicht nullstellenfrei ist.
Die Koordinaten (t ′ ,x ′ )
t = α
2 (x ′ 2 + 1) e t′
− α
2 e−t′ , x = α e t′
x ′ , w = α
2 (x ′ 2 − 1) e t′
− α
2 e−t′ , (F.24)
überdecken die Hälfte, t > w, des de Sitter-Raumes. Für die Differentiale gilt
dt = α
2(x ′ 2 + 1)e t′
dx = αx ′ e t′
dt ′ + α e t′
dx ′ ,
+ e −t′dt ′ + α e t′
x ′ódx ′ ,
dw = α
2(x ′ 2 − 1)e t′
+ e −t′dt ′ + α e t′
x ′ódx ′ .
Daher hat das Längenquadrat (dt) 2 − (dx) 2 − (dw) 2 die Form
299
(F.25)
gmndx m dx n = α 2 (dt ′ ) 2 − α 2 e 2t′
(dx ′ ) 2 = (d¯t) 2 − exp2 ¯t
α(dx ′ ) 2 . (F.26)
Die Schichten gleicher Zeit ¯t = α(t ′ + ln α) sind der R 3 mit seiner flachen Metrik. Ob in
einer Raumzeit Schichten gleicher Zeit kompakt sind, ist, wie der de Sitter-Raum zeigt,
auch eine Eigenschaft der Schichtung und nicht allein der Raumzeit.
Die Koordinaten (¯t,x ′ ) sind ein synchronisiertes Bezugssystem (F.11) für eine Hälfte,
t > w, des de Sitter-Raumes. Teilchen, die in diesem Bezugssystem ruhen, durchlaufen
geodätische Weltlinien. Ihre Abstände wachsen exponentiell mit der Zeit.
Im Koordinatensystem (ˆt, r, θ, ϕ)
t = √ α2 − x 2 sinh ˆt
α , w = −√α2 − x 2 cosh ˆt
, (F.27)
α
wobei x = r(sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ) mit r ≤ α durch Kugelkoordinaten (2.25) gegeben
ist, hat das Längenquadrat (dt) 2 − (dw) 2 − (dx) 2 wegen
dt = − xdx ˆt
√ sinh
α2 − x 2 α + √ α2 ˆt
− x 2cosh
αdˆt
α ,
dw =
xdx ˆt
√ cosh
α2 − x 2 α − √ α2 ˆt
− x 2sinh
αdˆt
α ,
und xdx = rdr und (dx) 2 = (dr) 2 + r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ(dϕ) 2 die Form
(F.28)
gmndx m dx n = (1 − r2
α2) (dˆt) 2 − (dr)2
1 − r2
α2 − r 2 (dθ) 2 − r 2 sin 2 θ (dϕ) 2 . (F.29)
Die (ˆt, r, θ, ϕ)-Koordinaten überdecken nur den Bereich w < −|t| des de Sitter-Raumes.
Durchläuft r bei konstantem θ und ϕ für ˆt = 0 die Werte zwischen r = 0 und r = α, so
durchlaufen die (t,x, w)-Punkte einen Viertelkreis in R 1,4 .
Wie jeder maximal symmetrische Raum ist der de Sitter-Raum konform flach. In einer
Umgebung eines jeden Punktes p, dem wir durch Wahl des Bezugssystems in R 1,4