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236 C Elementare Geometrie
Hierbei haben wir ωa b c = ea m ωm b c und eb m em c = δb c (A.110) verwendet, sowie die daraus
durch Differenzieren folgende Gleichung (∂neb m )em c = −eb m ∂nem c .
Das längs u und v durchlaufende Parallelogramm schließt sich nicht, wenn der Vektor
T(u, v) = T(u, v) m ∂m nicht verschwindet. Er hängt linear von den zwei Vektoren u und
v ab und definiert daher einen Tensor der Stufe (2, 1), die Torsion. Die Torsion ist die
bilineare Abbildung von Paaren von Vektoren, die ein infinitesimales Parallelogramm
definieren, auf den Vektor, um den sich das Parallelogramm zu schließen fehlt.
Falls u gleich v ist, verschwindet der zugehörige Vektor T(u, u). Eine Größe T(u, v),
die linear in den beiden Argumenten u und v ist und die für u = v verschwindet, ist antisymmetrisch
bei Vertauschen von u und v (A.45). Daher ist die Torsion antisymmetrisch
im ersten Indexpaar
Tab c = −Tba c . (C.13)
Weil der Vektor T(u, v) linear und antisymmetrisch in u und v ist, sind seine Komponenten
T c antisymmetrische Zweiformen. Sie schreiben sich als äußere Ableitung (A.92) der
Vielbeinform e c = dx m em c (A.111) und mit ihrem antisymmetrischen Produkt (A.73)
mit der Zusammenhangsform ωb c = dx m ωm b c = e a ωa b c ,
T c = de c +ωb c e b = e a e b1
2 Tab c = dx m dx n1
2 (∂men c −∂nem c +en b ωm b c −em b ωn b c ) . (C.14)
Wenn die Torsion nicht verschwindet, verhalten sich Parallelogramme wie Schraubengewinde.
Folgt man der Rille eines Gewindes, das ist eine abgerundete Version des
Parallelogramms, einmal rechts und ein anderes Mal links halb herum, so endet man
nicht am selben Ort, sondern um eine Ganghöhe versetzt.
w
Pvw
v
u
u
PuPvw
Puw
R uvw
Abbildung C.2: Krümmung
v
PvPuw
Der Raum ist gekrümmt, wenn ein Vektor w, der parallel um ein von u und v aufgespanntes,
infinitesimales Flächenstück verschoben wird, nicht mit dem ursprünglichen
Vektor übereinstimmt. Für parallel verschobene Basisvektoren PvPuea erhalten wir bis
auf Terme, die quadratisch in den Komponenten u m und v n sind,
PvPuea = Pvea − u m ωm a b eb=δa b − u m bPveb|x+u ωm a =
=δa b − u m ωm a bδb c − v n ωn b c |x+uec .
|x+u+v
(C.15)
C.2 Torsion und Krümmung 237
Entwickeln wir ωn b c nach u
PvPuea =δa b − u m ωm a bδb c − v n (ωn b c + u m ∂mωn b c )ec
und multiplizieren wir aus, so folgt
(C.16)
PvPuea = ea − u m ωm a b eb − v m ωm a b eb + u m ωm a c v n ωn c b eb − u m v n ∂mωn a b eb . (C.17)
Hiervon unterscheidet sich der Vektor PuPvea, der anders um das Flächenstück verschoben
wurde und sich aus (C.17) durch Vertauschen von u und v ergibt, durch
PvPuea − PuPvea = −u m v n∂mωn a b − ∂nωma b − ωm a c ωn c b + ωn a c ωm c beb . (C.18)
Da diese Differenz bereits bilinear in u m = u c ec m und v n = v d ed n ist, ändern sich
ihre Komponenten nicht in der betrachteten Näherung, wenn wir sie längs −u und −v
zurück in den Ausgangspunkt verschieben. Wir erhalten so die Abweichung des Vektors
ea, der einmal um das gesamte Flächenstück herum parallel verschoben wurde, vom
ursprünglichen Vektor. Diese Abweichung definiert die Krümmung R(u, v, ea)
P−vP−uPvPuea = ea − R(u, v, ea) , R(u, v, ea) = u c v d Rcd a b eb , (C.19)
Rcd a b = ec m ed n∂mωn a b − ∂nωm a b − ωm a c ωn c b + ωn a c ωm c b. (C.20)
Da Paralleltransport linear ist, gilt für einen Vektor w = w a ea, der um das Flächenelement
parallel verschoben wird,
P−vP−uPvPuw = w − R(u, v, w) = w − u c v d w a Rcd a b eb . (C.21)
Die Krümmung gibt an, um wieviel ein Vektor, der parallel um das von u und v aufgespannte
Flächenelement herumgeführt wird, vom ursprünglichen Vektor w abweicht.
Dieser Differenzvektor hängt linear von den drei Vektoren u, v und w ab und definiert
daher einen Tensor der Stufe (3, 1), den Riemanntensor, mit Komponenten Rcd a b .
Aus den gleichen Gründen wie die Torsion (A.45) ist der Riemanntensor antisymme-
trisch im ersten Indexpaar
Rcd a b = −Rdc a b
(C.22)
und definiert daher eine matrixwertige Zweiform Ra b = ec d 1
e 2Rcd a b . Sie schreibt sich als
äußere Ableitung und Quadrat der matrixwertigen Zusammenhangsform ωa b = dxmωm a b
Ra b = dωa b − ωa c ωc b = dx m dx n1
2 (∂mωn a b − ∂nωm a b − ωm a c ωn c b + ωn a c ωmc b ) . (C.23)
Für die Tangentialvektoren an Weltlinien der Raumzeit ist nicht nur Parallelverschiebung
erklärt, sondern auch ein Skalarprodukt eaóeb = gab, die Metrik, und ein Längenquadrat
w 2 = wów = w a w b gab. Die Parallelverschiebung heißt metrikverträglich, wenn
parallel verschobene Vektoren unveränderte Länge haben. Insbesondere haben dann die
Vektoren w und w − R(u, v, w) in erster Ordnung in u und v gleiche Länge
0 = w 2 − (w − R(u, v, w)) 2 = 2R(u, v, w)ów = 2u c v d Rcd a e gebw a w b . (C.24)
Es ist Rcd a e gebw a z b linear in w und z und verschwindet für w = z, wenn die Parallelverschiebung
metrikverträglich ist. Dann sind, wie (A.45) zeigt, die Komponenten des mit
der Metrik kontrahierten Riemanntensors antisymmetrisch auch im zweiten Indexpaar
Rcd ab = Rcd a e geb , Rcd ab = −Rcd ba . (C.25)