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44 3 Transformationen
Entsprechend ist θ ′ in l ′ (t ′ ) = (t ′ , −t ′ cosθ ′ , −t ′ sin θ ′ , 0) der Winkel, den B ′ zwischen
der Einfallsrichtung des Lichts und der Gegenrichtung sieht, in die sich B entfernt.
Die drehungsfreie Lorentztransformation in x-Richtung läßt die y- und z-Koordinaten
invariant und streckt die Differenz t− = t−x um den Faktor κ (2.8), t− ′ = κt− (3.2). Der
Beobachter B ′ sieht folglich beim Lichtstrahl das Verhältnis −ly/l− = sin θ/(1 + cosθ)
um κ verringert. Mit der trigonometrischen Identität
1
c
s 2t 12
Abbildung 3.3: Kreis mit
sin θ und 1 + cos θ
sin θ
1 + cosθ
θ θ 2 cos sin 2 2 =
2 cos2 θ
2
= tan θ
2
(3.20)
ausgedrückt, hängt der Winkel θ ′ , unter dem B ′ den Licht-
strahl einfallen sieht, durch
tan θ′
2 =
1 − v θ
tan . (3.21)
1 + v 2
mit dem Winkel θ zusammen, den B mißt [16].
Die Abänderung der Richtung, mit der Lichtstrahlen für bewegte
Beobachter einfallen, heißt Aberration. Da der Tangens
monoton mit dem Winkel wächst, ist θ ′ für 0 < v < 1 kleiner als θ. Licht kommt einem
bewegten Beobachter wie Regen mehr aus der Richtung entgegen, in die er sich bewegt.
In (3.21) ist die Abhängigkeit der transformierten Einfallsrichtung vom Transformationsparameter,
der Geschwindigkeit v, und der ursprünglichen Richtung getrennt: tanθ/2
transformiert linear. In cosθ ausgedrückt
tan θ sin θ
=
2 1 + cosθ =
√ 1 − cos 2 θ
1 + cosθ =
1 − cos θ
1 + cos θ
(3.22)
und quadriert, lautet das Transformationsgesetz wie die Geschwindigkeitsaddition (2.15)
1 − cosθ ′ 1 − v 1 − cosθ
= . (3.23)
1 + cosθ ′ 1 + v 1 + cosθ
Dies kann man leicht nach cosθ ′ auflösen und damit sin θ ′ = √ 1 − cos 2 θ ′ berechnen
cosθ ′ =
v + cos θ
1 + v cosθ
Jährliche Aberration des Lichts der Sterne
, sin θ ′ √
1 − v2 = sin θ . (3.24)
1 + v cos θ
Die Erde umläuft die Sonne im mittleren Abstand von r = 1,50ó10 11 m. Die dabei
zurückgelegte Strecke 2πr im Verhältnis zu einem Lichtjahr, 9,46ó10 15 m, ist die Geschwindigkeit
v = 1,00ó10 −4 . Für solch kleine Geschwindigkeiten ist δθ = θ ′ − θ klein,
und (3.21) lautet näherungsweise
tan θ
+ δθ
2
1
2 cos2 θ′
≈ tan
(θ/2) 2 =
1 − v θ θ
tan ≈ (1 − v) tan
1 + v 2 2 ,
δθ ≈ −v sin θ . (3.25)
3.3 Augenschein 45
Ein Stern, der sich für einen ruhenden Beobachter in einer Richtung θ = π senkrecht zur
2
augenblicklichen Bewegungsrichtung der Erde befindet, wird von mitbewegten Astronomen
in einer um δθ = 1,00ó10 −4 = 20,5 ′′ in Bewegungsrichtung der Erde verschobenen
Richtung gesehen. 1
Während im Jahr die Erde die Sonne umläuft, ändert sich die Geschwindigkeitsrichtung
der irdischen Beobachter. Daher durchlaufen, wie James Bradley 1728 entdeckte
[17], die Richtungen, in denen wir weit entfernte Sterne sehen, im Laufe des Jahres Ellipsen
mit einer großen Achse von 41 ′′ . Bradleys Beobachtung der Aberration war der
erste direkte Beweis des Kopernikanischen Weltbildes, daß die Erde die Sonne umläuft.
Umrisse bewegter Kugeln
Aberration der Richtungen eθ ϕ = (sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ) von Lichtstrahlen auf
Richtungen eθ ′ ϕ ′, aus denen der bewegte Beobachter die Lichtstrahlen sieht, ist eine
Selbstabbildung der Menge aller Richtungen, der zweidimensionalen Kugeloberfläche S2 .
Der Umriß von Kugeln erscheint bewegten Beobachtern nicht längenkontrahiert als
Pfannkuchen, sondern wieder als Kugelumriß [16, 18, 19]. Aberration bildet also auf S2 Kreise auf Kreise ab.
Dies erschließt man folgendermaßen. Alle Richtungen e, e 2 = 1, aus denen Lichtstrahlen
vom Umriß einer Kugel beim Beobachter einfallen, bilden einen Kreiskegel und
schließen mit der Richtung der Kegelachse, n, n 2 = 1, den gleichen Öffnungswinkel δ ein
cosδ = eón . (3.26)
Ein Photon, das ein Beobachter im Ursprung aus Richtung e einfallend sieht, durchläuft
die Weltlinie
l(t) = t k , k = (1, −e) , k 2 = 0 , (3.27)
denn es bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit v = 1 entgegengesetzt zur Richtung, aus
der es beim Beobachter einfällt. Der Tangentialvektor der Weltlinie, k, ist lichtartig. Sie
gehört genau dann zum Kreiskegel (3.26), wenn k auf dem raumartigen Vierervektor
im Sinne des Skalarproduktes (2.42) senkrecht steht
n = a (− cosδ,n) , n 2 < 0 , (3.28)
kón = a (− cosδ + eón) = 0 . (3.29)
Da Lorentztransformationen Skalarprodukte invariant lassen, erfüllen der transformierte
Vektor n ′ = Λn und alle transformierten Tangentialvektoren k ′ = Λk des Kreiskegels die
Gleichungen k ′ 2 = 0, n ′ 2 < 0, und k ′ón ′ = 0. Da n ′ wie jeder raumartige Vektor von der
Form (3.28) ist, definiert n ′ die Achse n ′ und den Öffnungswinkel δ ′ des Kreiskegels der
Lichtstrahlen k ′ .
Den Öffnungswinkel δ ′ des transformierten Kugelumrisses und den Winkel θ ′ , den die
Achse des transformierten Kegels mit der Bewegungsrichtung des bewegten Beobachters
1 Eine Bogensekunde ist 1 ′′ = 2π/(360ó60ó60) ≈ 4,848ó10 −6 .