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202 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
um ±1, weil sie in genau einem Paar aus (π(1), π(2), . . ., π(n)) ändern, ob die linksstehende
Zahl größer als die rechtsstehende ist. Aus (l, k +1) = (k, k +1) ◦(l, k) ◦(k, k +1)
folgt dann durch Induktion, daß jede Paarvertauschung die Fehlstellung einer Permutation
um eine ungerade Anzahl ändert.
Es läßt sich jede Permutation π aus Paarvertauschungen zusammensetzen. Wenn die
Fehlstellung a(π) gerade (ungerade) ist, muß die Zahl dieser Paarvertauschungen gerade
(ungerade) sein. Also gibt sign(π) an, ob π aus einer geraden oder ungeraden Anzahl
von Paarvertauschungen zusammengesetzt ist, und es gilt
Dichten und Inhalte
sign(π ′ ◦ π) = sign(π ′ ) sign(π) . (A.40)
Ladung, Energie, Teilchenzahl und ähnliche additive Größen können in Mannigfaltigkeiten
oder Untermannigfaltigkeiten der Dimension p kontinuierlich verteilt sein. Der
Inhalt eines Bereiches B ergibt sich dabei als Integral über eine Dichte pro Weg, pro
Fläche oder pro Volumen, das sich über den Bereich B erstreckt. Je nach Dimension p
des Bereichs heißt die zugehörige Dichte p-Form.
Für p = 1 ist die Arbeit, die längs eines Weges Γ : [s, ¯s] → M geleistet wird, ein
Integral über eine Arbeitsdichte pro Weg, die Kraft. Sie hat Komponentenfunktionen ωm,
¯s
A[Γ] = ds ωm(x(s))
s
dxm
ds =
¯s
ds ω(u) . (A.41)
s
Die Arbeit längs Γ hängt nicht vom Koordinatensystem ab, wenn ω ein Kovektorfeld ist,
das auf der Kurve Tangentialvektoren u in die reellen Zahlen abbilden. Sie hängt auch
nicht von der Parametrisierung des Weges ab, und läßt sich daher kurz als
A[Γ] = ω (A.42)
Γ
schreiben, denn sei s eine monoton zunehmende Funktion von s ′ , so besagen die Kettenregel
und der Integraltransformationssatz
¯ s ′
s ′
ds ′ ωm(x(s(s ′ ))) ds
ds ′
dxm ds =
s( s ¯′ )
s(s ′ ds ωm(x(s))
)
dxm
. (A.43)
ds
Bei konstanter Stromdichte fließt durch ein p = 2-dimensionales Parallelogramm mit
Kantenvektoren a und b der Gesamtstrom J(a, b). Er definiert die 2-Dichte J, die Stromdichte,
die bilinear Paare von Vektoren (a, b) auf Zahlen abbildet,
J(λ1a+λ2c, b) = λ1 J(a, b)+λ2 J(c, b) , J(a, λ1 b+λ2c) = λ1 J(a, b)+λ2 J(a,c) . (A.44)
Nach dem Cavalierischen Prinzip bleibt der Strom ungeändert, wenn man zu b ein
beliebiges Vielfaches von a hinzufügt, denn dabei ändert sich nicht die Flächengröße.
a
b
J(a, b) = J(a, b + λa)
a
Abbildung A.1: Cavalierisches Prinzip
Der Strom J(a, b) verschwindet, falls a = b ist,
J(a,a) = 0 .
Daher ist J antisymmetrisch unter Vertauschung der beiden Argumente,
b + λa
0 = J(a + b,a + b) = J(a,a) + J(a, b) + J( b,a) + J( b, b) = 0 + J(a, b) + J( b,a) + 0 ,
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J(a, b) = −J( b,a) . (A.45)
Es ist J der Strom in Normalenrichtung des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
Er wechselt sein Vorzeichen, wenn man a und b vertauscht.
Man kann Stromdichten addieren und vervielfältigen, folglich bilden sie einen Vektorraum
L2: den Vektorraum der in zwei Vektoren linearen, unter Permutation antisymmetrischen
(die Mathematiker sagen ” alternierenden“) Abbildungen in die reellen Zahlen.
Da Stromdichten, angewendet auf ein Paar von Kantenvektoren eines Parallelogramms,
eine Zahl ergeben, definieren Parallelogramme Vektoren des zu L2 dualen Vektorraums,
nämlich die lineare Abbildung a ∧ b, gesprochen ” a Keil be“ oder ” a Dach be“, die Stromdichten
J auf den Strom J(a, b) abbildet,
(a ∧ b) : J ↦→ J(a, b) . (A.46)
Weil die Stromdichten antisymmetrisch und bilinear sind, ist das Keilprodukt (oder
Dachprodukt) antisymmetrisch und distributiv in beiden Faktoren,
a ∧ b = − b ∧a , (A.47)
(λ1a + λ2 b) ∧c = λ1a ∧c + λ2 b ∧c , a ∧ (λ1 b + λ2c) = λ1a ∧ b + λ2a ∧c . (A.48)
Dabei sind Summen und Vielfache der Keilprodukte definiert als Summen und Vielfache
der linearen Abbildungen, die sie bewirken.
Schreiben wir a = ema m und b = enb n als Linearkombinationen einer Basis e1,e2 . . .,
so erweist sich das Keilprodukt a ∧ b wegen der Distributiveigenschaften und der Antisymmetrie
des Keilproduktes als Linearkombination der Produkte em ∧ en mit m < n.
a ∧ b = a m b n em ∧ en =
(a
m