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250 C Elementare Geometrie
der Levi-Civita-Konnektion, Tkl m = 0 = Dmgnk, so erweist sich die Lieableitung der
Metrik längs ξ als die symmetrisierte, kovariante Ableitung von ξm = gmnξ n
Lξgmn = Dmξn + Dnξm . (C.109)
Die symmetrisierte, kovariante Ableitung des Feldes ξm ist proportional zur Metrik
(E.27), falls ξ m zu einer infinitesimalen konformen Transformation gehört und verschwindet
für infinitesimale Isometrien.
Wenn Parallelverschiebung torsionsfrei und metrikverträglich ist, die affine Konnektion
also durch das Christoffelsymbol (C.106) gegeben ist, so vereinfacht sich die erste
Bianchi-Identität (C.60) zu
Rklm n + Rlmk n + Rmkl n = 0 . (C.110)
Hieraus und aus der Antisymmetrie im ersten und im zweiten Indexpaar (C.25) folgt,
daß der Riemanntensor unter Vertauschung der beiden Indexpaare symmetrisch ist
Rklmn = −Rlmkn − Rmkln = Rlmnk + Rmknl
= −Rmnlk − Rnlmk − Rknml − Rnmkl
= 2Rmnkl + Rnlkm + Rknlm = 2Rmnkl − Rlknm
Rklmn = Rmnkl
und daß der Riccitensor Rkl = Rkml m symmetrisch ist
(C.111)
Rkl = Rlk . (C.112)
In der Standardformulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der Paralleltransport
so gewählt, daß die Torsion verschwindet. Dies ist zunächst eine Einfachheitsforderung;
Formulierungen mit nichtverschwindender Torsion sind genauso denkbar. Um
zu entscheiden, welcher Paralleltransport physikalisch durch Testteilchen und Licht realisiert
ist, müssen die Auswirkungen von Torsion in Spielarten der Allgemeinen Relativitätstheorie
untersucht und mit den Beobachtungen verglichen werden. Wir lassen
daher zu, daß die Torsion nicht verschwindet, auch wenn wir in Kapitel 7 zeigen, daß
Testteilchen und Licht dem torsionsfreien Paralleltransport unterliegen. Dies ist keine
Einfachheitsannahme, sondern folgt aus der Koordinateninvarianz der Wirkung
C.6 Geraden
Eine Kurve x(s) ist gerade oder geodätisch, wenn der Tangentialvektor Um (s) = dxm
ds
bei Parallelverschiebung längs der Kurve zum Punkt x(s + ε) = x + εU mit dem dortigen
Tangentialvektor bis auf Terme der Ordnung ε2 übereinstimmt. Dann verschwindet
auf der Kurve die kovariante Ableitung DUU des Tangentialvektors in Richtung des
Tangentialvektors.
Auf einer Kurve x(s) erfordert der Begriff der kovarianten Ableitung DUV eines Vektors
V (s) längs des Tangentialvektors U = dx
nicht, daß V (s) ein in der Umgebung der
ds
Kurve definiertes Vektorfeld V (x) ist, denn die Ableitung dxm
nach dem Kurvenparameter
δV n
δs
C.6 Geraden 251
ds ∂m wirkt als Ableitung d
ds
= Ddx V
ds
n n dV dxk
= +
ds ds Γkl n V l . (C.113)
Hierbei haben wir die Kurzschrift δ für die kovariante Ableitung Ddx eingeführt.
δs ds
Da Geraden definitionsgemäß DUU = 0 mit Um = dxm erfüllen, lösen ihre Koordina-
ds
tenfunktionen die Geodätengleichung
d2xm mdxk dx
+ Γkl
ds2 ds
l
= 0 . (C.114)
ds
Falls die affine Konnektion überall verschwindet, sind die Koordinaten von Geraden
lineare Funktionen xm (s) = Umós + xm (0) des Bahnparameters.
Es ist dxk dx
ds
l dxl dx = ds ds
k
symmetrisch unter Vertauschung der Indizes. Daher trägt zur
ds
Geradengleichung nur der symmetrische Teil Skl m der Konnektion bei.
Ungleichmäßige Gravitation verändert durch Gezeiteneffekte den Abstand zwischen
frei fallenden Teilchen, die gerade Weltlinien durchlaufen und die Geodätengleichung
erfüllen. Parametrisieren wir die Teilchen durch Parameter v und parametrisieren wir für
festes v jede Weltlinie durch einen Bahnparameter u, so ist diese Schar von Weltlinien
durch x m (u, v) gegeben. Dabei ist ∂xm
∂u = Um der Tangentialvektor an die jeweilige
geodätische Linie und erfüllt die Geodätengleichung DUU = 0, der Vektor V m = ∂xm
∂v
zeigt zur benachbarten geodätischen Linie.
Wenn die Vektoren U und V , längs derer differenziert wird, nur auf Kurven oder Flächen
oder allgemeiner Untermannigfaltigkeiten definiert sind, wobei die r-dimensionale
Untermannigfaltigkeiten in einem Koordinatensystem durch Funktionen x m (s 1 , ..., s r )
gegeben sei, so behalten die Gleichungen (C.45) und (C.44) ihre Gültigkeit, falls U und
V tangential, das heißt von der Form
U m | = U x(s) a (s) ∂xm
, a = 1, . . ., r , (C.115)
∂sa sind. Dann wirken die Ableitungen Um∂xm als Ableitungen Ua∂sa innerhalb der Untermannigfaltigkeit.
Das gilt insbesondere für den Kommutator
[U, V ] m | = (U x(s) b ∂sbV a − V b ∂sbU a ) ∂xm
. (C.116)
∂sa Auf der zweidimensionalen Fläche x(u, v) sind U = Um∂xm und V = V m∂xm tangentiale
Vektorfelder, deren Kommutator verschwindet
[U, V ] m = ∂xk
∂u
∂
∂xk ∂x m
∂v
− ∂xk
∂v
∂
∂xk ∂x m
∂u
∂ ∂
=
∂u ∂v xm − ∂ ∂
∂v ∂u xm = 0 .
Daher unterscheidet sich die kovariante Ableitung von V längs U von der Ableitung von
U längs V um die Torsion (C.45)
DUV = DV U + T(U, V ) , (C.117)