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306 G Die Noethertheoreme
Zudem ist jm ξ + ξNm δW
l δφl
Kontinuitätsgleichung identisch in den Jet-Variablen. Also hat der Strom jm ξ die Form
j m ξ = −ξN m l
ein trivialer Strom (G.18), denn er erfüllt wegen (G.29) die
δW
δφl
+ ∂nB nm , B nm = −B mn , (G.30)
wobei B nm geeignete, unter Vertauschung der Indizes antisymmetrische Funktionen der
Jet-Variablen sind. Insbesondere lassen sich die Ladungen in einem Volumen aufgrund
der Bewegungsgleichungen als Oberflächenintegral über B 0i über die einhüllende Randfläche
berechnen (G.19).
Umgekehrt gehört zu jeder Identität der Bewegungsgleichungen
δW
0 = Sl
δφl
+ S m δW
l ∂m
δφl
, (G.31)
die identisch in den Jet-Variablen gilt, eine Eichsymmetrie der Wirkung und ein erhaltener
Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet! Um dies zu zeigen,
multiplizieren wir die Identität mit einer beliebigen Funktion ξ und schreiben sie als
Definition (G.28) einer Eichinvarianz
δW
0 = ξSl + S
δφl
m δW
l ∂m ξ − ∂mξS δφl=Sl m lδW
+ ∂mξS
δφl
mδW l (G.32)
δφl.
Damit ist das zweite Noethertheorem bewiesen.
Zweites Noethertheorem: Zu jeder Eichsymmetrie der Wirkung gehört eine Identität
zwischen den Bewegungsgleichungen und umgekehrt. Die zur Eichsymmetrie gehörende
erhaltene Ladung QV in einem Volumen V ist durch ein Oberflächenintegral über den
Rand von V gegeben (G.19).
Doppelte Noetheridentität
Ist die Wirkung wie in (5.187) die Summe einer eichinvarianten Wirkung für Felder Ak,
die wir Eichfelder nennen und bei Eichtransformationen unter einander transformieren,
und einer zweiten, ebenfalls eichinvarianten Wirkung, die die Felder Ak an weitere Felder
φi, die wir Materiefelder nennen, koppelt
W[A, φ] = WEich[A] + WMaterie[A, φ] , (G.33)
so gilt die Noetheridentität für die Bewegungsgleichung der Felder Ak
δWEich
δAk
= − δWMaterie
δAk
zweifach. Die linke Seite erfüllt wegen (G.29) die Noetheridentität
(G.34)
0 = ˆ ∂ δWEich
(G.35)
ˆ∂ξδξAk
δAk.
G.3 Eichsymmetrien und Noetheridentitäten 307
Die Noetheridentität der Variationsableitungen der Materiewirkung
0 = ˆ ∂ δWMaterie δWMaterie
+ δξφi
(G.36)
ˆ∂ξδξAk
δAk δφi
gilt für alle Felder, insbesondere auch für solche Materiefelder φi, die ihre Bewegungsgleichungen
δWMaterie
= 0 erfüllen. Dann fallen die Beiträge der Materiefelder zur Noether-
δφi
identität weg. Wenn die Materiewirkung eichinvariant ist und die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen
erfüllen, so erfüllt auch die Variationsableitung der Materiewirkung
identisch in den Feldern Ak die Noetheridentität
0 = ˆ ∂ δWMaterie
wenn
ˆ∂ξδξAk
δAk, δWMaterie
= 0 . (G.37)
δφi
Ströme und Variationsableitungen
Da die Variationsableitung der Materiewirkung in den Bewegungsgleichungen der Eichfelder
(G.34) als Quelle so auftritt wie der elektromagnetische Strom in den Maxwellgleichungen,
bezeichnet man − δWMaterie
als Strom. Dieser Strom ist eng verwandt dem
δAk
Noetherstrom, der zur Invarianz der Materiewirkung unter einer Symmetrietransformation
gehört, die die Eichfelder nicht ändert.
Dies zeigt die folgende Kombination der beiden Noethertheoreme. Die Eichinvarianz
(G.20) besagt für die Lagrangefunktion L der Materiewirkung
δξφi
ˆ∂L ˆ∂L
+ δξAk
ˆ∂φi
ˆ∂Ak
+ ∂mj m ξ
Dabei ist nach erstem Noethertheorem der Strom (G.21)
j m ξ
wobei K m ξ durch δξL = ∂mK m ξ
∂L ∂L
= δξφi + δξAk
∂∂mφi ∂∂mAk
= 0 . (G.38)
− K m ξ , (G.39)
bis auf einen trivialen Strom eindeutig definiert ist. Nach
dem zweiten Noethertheorem hat der Strom die Form (G.30)
j m ξ = −ξ(N m φi
ˆ∂L
+ N
ˆ∂φi
m ˆ∂L
Ak ) + ∂n
ˆ∂Ak
ˆ B nm . (G.40)
Diese Ströme sind bis auf triviale Ströme (G.18) eindeutig. Also gibt es Funktionen
B mn = −B nm der Jet-Variablen, 2 so daß
δξφi
∂L ∂L
+ δξAk
∂∂mφi ∂∂mAk
− K m ξ + ∂nB nm = −ξ(D m φi
ˆ∂L
+ D
ˆ∂φi
m ˆ∂L
) (G.41)
Ak ˆ∂Ak
als Identität für alle Felder Ak und alle Felder φi und alle Eichtransformationen ξ gilt.
2 Der triviale Strom ∂nB nm heißt auch Verbesserungsterm.