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286 E Konforme Abbildungen
Bis auf die Umbenennung b n → ξ n und ǫ → −ǫ ist dies dieselbe Algebra, wie sie ohne eigentliche
konforme Transformationen für b n = 0 zu Translationen t n , Lorentztransformationen
ωmn und Dilatationen ǫ gehört. Der zusammenhängende Teil der Fixpunktgruppe
ist daher der Gruppe W(p, q) (E.98) ähnlich, die von Translationen, Lorentztransformationen
SO(p, q) und Dilatationen erzeugt wird.
Die maximale Gruppe konformer Transformationen wirkt daher auf einer Mannigfaltigkeit,
die ein Quotient der Überlagerung von SO(p + 1, q + 1)/W(p, q) ist.
E.5 Endliche Transformationen
Zu infinitesimalen Translationen ξ m = t m gehören endliche Translationen, die durch die
Lösungen x m (α) = x m (0) + αt m des Differentialgleichungssystems
dx m
dα
= tm
(E.92)
gegeben sind (A.146). Es reicht, die Transformation für α = 1 zu untersuchen, da jeder
andere Wert von α in ξ absorbiert werden kann. Mit der Notation x(1) = x ′ und x(0) = x
lautet die endliche Translation
x ′ m = x m + t m . (E.93)
Endliche Dilatationen gehören zum Differentialgleichungssystem
dx m
dα
= axm
mit der Lösung x(α) = e αa x(0) und lauten in der obigen Notation
(E.94)
x ′ m = e a x m . (E.95)
Endliche Lorentztransformationen, die zu ξ m = Ω m nx n gehören, sind lineare Transformationen
x ′ = Λx mit Matrizen Λ, die das Längenquadrat in R p,q invariant lassen. Die
zur Lorentzgruppe gehörigen Matrizen Λ erfüllen die Gleichungen (B.54)
Λ m kΛ n l ηmn = ηkl , (E.96)
die besagen, daß in den Spalten von Λ die Komponenten von Vektoren stehen, die normiert
und zueinander orthogonal sind, wobei ihre Skalarprodukte mit η berechnet werden.
Die aus Translationen und Lorentztransformationen SO(p, q) bestehenden Transformationen
TΛ,t : x m ↦→ Λ m nx n + t m
(E.97)
heißen Poincaré-Transformationen und bilden die Poincaré-Gruppe, die inhomogene, spezielle,
orthogonale Gruppe ISO(p, q). Die von Poincaré-Transformationen und Dilatationen
erzeugten Weyltransformationen
T(Λ, e a , b) : x ↦→ e a Λx + b (E.98)
E.5 Endliche Transformationen 287
bilden die Gruppe W(p, q).
Für d = 2 lassen sich die von ξ m = Ω m nx n erzeugten Lorentztransformationen SO(1, 1)
und SO(2) leicht angeben. Die Matrix Ω ist η mal einer antisymmetrischen Matrix (B.13)
und im ersten Fall durch ΩLorentz und im zweiten Fall durch ΩDrehung gegeben
ΩLorentz =0 λ
λ 0, ΩDrehung =0 −θ
θ 0. (E.99)
Das zu SO(1, 1) gehörige Differentialgleichungssystem dx = Ωx wird durch
dα
x0 (α)
x1 sinh(αλ)
(α)=cosh(αλ)
sinh(αλ) cosh(αλ)x0 (0)
x1 (E.100)
(0)
gelöst2 . Die Lorentztransformation ist
x ′ 0
x ′ 1=cosh λ sinh λ
sinh λ cosh λx
0
x1. (E.101)
Diese Transformation bildet die Weltlinie Γ : s ↦→ xm (s) = δm 0 s + xm (0) eines ruhenden
Teilchens auf die Weltlinie eines Teilchens ab, das sich mit Geschwindigkeit v = tanh λ
c
aus, so lautet die Transformation
in x 1 -Richtung bewegt. Drückt man λ durch v
c
x ′ 0
′ x 1=
1
1 − v2
c
v
c
v 1x 21
c 0
x 1. (E.102)
Die Lösungen des zu Drehungen gehörigen Differentialgleichungssystems sind
x1 (α)
x2 − sin(αθ)
(α)=cos(αθ)
sin(αθ) cos(αθ)x1 (0)
x2 (E.103)
(0),
und die endliche Drehung um den Winkel θ ist
x ′ 1
x ′ 2=cos θ − sin θ
sin θ cosθx1 x2. (E.104)
Zu ξ m = −2bóxx m + b m xóx, den infinitesimalen, eigentlich konformen Transformationen,
gehört das Differentialgleichungssystem
dx m
dα = (δm nx 2 − 2x m xn)b n . (E.105)
Wir lösen durch Multiplikation mit der inversen Matrix nach b m auf
δm nx2 − 2xmxn x4 dxn = bm
dα
2 Der Indexbereich der Koordinaten ist wie üblich zu x 0 = ct und x 1 = x verschoben.
(E.106)