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300 F Einige Standardformen der Metrik<br />
α<br />
w<br />
x<br />
2αy<br />
Abbildung F.1: Stereographische Projektion<br />
die Koordinaten (t,x, w) = (0, 0, α) geben, können wir durch stereographische Projektion,<br />
angepaßt an die Signatur der vorliegenden Metrik, Koordinaten ym , m = 0, 1, 2, 3,<br />
einführen<br />
x m = 2α ym + y2<br />
, w = α1 , (F.30)<br />
1 − y2 1 − y2 mit x 0 = t und y 2 = yóy = (y 0 ) 2 − (y 1 ) 2 − (y 2 ) 2 − (y 3 ) 2 . Wegen<br />
dx m = 2α<br />
1 − y2dym m yódy<br />
+ 4αy<br />
(1 − y2 yódy<br />
, dw = 4α<br />
) 2 (1 − y2 ,<br />
) 2<br />
stimmt das Längenquadrat (dt) 2 −(dx) 2 −(dw) 2 bis auf einen konformen Faktor mit der<br />
flachen Metrik überein<br />
gkldx m dx n = 4α2<br />
(1 − y 2 ) 2 dyódy . (F.31)<br />
G Die Noethertheoreme<br />
G.1 Abwälzen von Ableitungen<br />
Die Abkürzung d stehe für die Ableitung d oder jede andere Ableitung, die der Pro-<br />
dt<br />
duktregel genügt. Wegen<br />
udv=du v−duv (G.1)<br />
können in Produkten u (d n v) die Ableitungen, die auf v wirken, bis auf vollständige<br />
Ableitungen auf u abgewälzt werden<br />
ud n <br />
v=dn−1<br />
k=0(−1) k d k ud<br />
n−k−1 v+(−1) n d n uv . (G.2)<br />
Die Wirkung jedes Differentialoperators D = n fnd n mit irgendwelchen Koeffizientenfunktionen<br />
fn und n-fachen Ableitungen d n auf v können wir schreiben als Summe<br />
einer vollständigen Ableitung einer Größe XD, v und eines Produktes, das v ohne Ableitung<br />
als Faktor enthält<br />
Dv = <br />
n<br />
fnd n v = d XD, v + YD v , (G.3)<br />
XD, v = <br />
k,l(−1) k d k fk+l+1d l v, (G.4)<br />
YD = <br />
(−1)<br />
n<br />
n (d n fn) . (G.5)<br />
Die Relation macht nur Gebrauch davon, daß der Differentialoperator d der Produktregel<br />
genügt und gilt unabhängig davon, was fn oder v ist, oder ob d für die Zeitableitung<br />
oder für irgendeine andere Ableitung steht.<br />
Die infinitesimale Änderung einer Lagrangefunktion L (t, x, ˙x, ¨x, . . .) kann als Differentialoperator<br />
gelesen werden, der auf δx wirkt<br />
δL = L (t, x + δx, ˙x + δ ˙x, ¨x + δ¨x, . . .) − L (t, x, ˙x, ¨x, . . .)<br />
= δx ∂L<br />
∂x<br />
d<br />
+ (<br />
dt δx)∂L<br />
∂ ˙x<br />
d2<br />
+ (<br />
dt2δx)∂L ∂¨x<br />
+ . . . .<br />
(G.6)<br />
Wälzen wir die Ableitung von δx ab und schreiben wir δL als Summe einer vollständigen<br />
Ableitung und eines Produktes, das δx als Faktor enthält, so definiert der Koeffizient
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