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132 6 Teilchen im Gravitationsfeld
Die letzte Klammer verschwindet, wenn der Bahnparameter ˜s(s) als
s
˜s(s) = ds ′ Ω −2 (s ′ ) (6.66)
gewählt wird. Gilt also die Geodätengleichung für Lichtstrahlen x(˜s(s)) bezüglich der
Metrik gmn, so erfüllt x(˜s) sie für die Metrik ˜gmn.
Folglich genügen Lichtstrahlen in jeder konform statischen Metrik, zum Beispiel in der
Schwarzschildmetrik, dem Fermatschen Prinzip.
Jede kugelsymmetrische, dreidimensionale Metrik ˜gij (F.21) ist in geeigneten Koordinaten,
den isotropen Koordinaten, bis auf einen konformen Faktor n 2 euklidisch
a 2 (r) (dr) 2 + b 2 (r)(dθ) 2 + sin 2 θ(dϕ) 2=n 2(d˜r) 2 + ˜r 2 ((dθ) 2 + sin 2 θ(dϕ) 2 ), (6.67)
r
˜r(r) = exp dr ′ a(r ′ )/b(r ′ ) , (6.68)
wie man einfach mit n = b/˜r und d˜r/dr = ˜r a(r)/b(r) bestätigt. Bei einer konform
statischen, kugelsymmetrischen Metrik (6.62) ist 1/n die Lichtgeschwindigkeit
0 = dt dt
ds ds dtódx
dt
Solch eine Metrik wirkt sich auf die Bahnen von Licht so aus wie im flachen Raum ein
optisches Medium mit Brechungsindex n(x) und Wirkung W[x] = dt n(x) ( ˙ 1/2 xó˙ x) .
Für die Schwarzschildmetrik (6.15) ergibt sich
− n2 dx
dsódx
ds =dt
ds2 (1 − n 2 dx
1
) , |dx | = . (6.69)
dt n
a
b =grr 1
= r(r
, (6.70)
gθθ − r0)
r dr
ln ˜r + k =
′
r ′ (r ′ − r0) = 2 ln(√r + √ r − r0) = ln(2r(r − r0) + 2r − r0) . (6.71)
Wir wählen die Integrationskonstante k = ln4 so, daß ˜r mit r für große r übereinstimmt,
Dann gilt umgekehrt (2 ˜r + r0/2) 2 = 4 r ˜r oder
˜r = r r0 1
− + − r0) . (6.72)
2 4 2r(r
r = ˜r (1 + r0
4˜r )2 , (6.73)
und die Schwarzschildmetrik hat in diesen isotropen Kugelkoordinaten die Form
gmndx m dx n =1 − r0
4˜r
1 + r0
(dt)
4˜r2
2 − (1 + r0
4˜r )4(d˜r) 2 + ˜r 2 (dθ) 2 + ˜r 2 sin 2 θ(dϕ) 2. (6.74)
Die Gravitation der Zentralmasse wirkt sich in diesen Koordinaten auf die Bahnen von
Licht so aus wie im flachen Raum ein Medium mit Brechungsindex n =−g˜r˜r/g00,
n = (1 + r0
4˜r )3 (1 − r0
4˜r )−1 . (6.75)
Gravitative Rotverschiebung
6.5 Lichtstrahlen 133
Auch ein konformer Faktor Ω 2 , gmn = Ω 2 ˜gmn, wirkt sich auf Licht aus. Er beeinflußt
zwar nicht die Bahnen von Licht, wohl aber die Farbe, mit der ein Beobachter B am Ort
xB eine Uhr bei xU sieht.
Wenn die Uhr in einer konform statischen Raumzeit (6.62) ruht, vergeht auf ihr zwischen
zwei benachbarten Ereignissen xU = (t,xU) und (t + dt,xU) die Zeit (6.4)
τU =g00(xU) dt . (6.76)
Das Licht, das von diesen Ereignissen zu einem ruhenden Beobachter ausgesendet
wird, erreicht ihn bei (t,xB) und (t + dt,xB) mit derselben Koordinatendifferenz dt.
Denn die Lichtstrahlen hängen nicht vom konformen Faktor Ω2 ab (Seite 131) und
stimmen mit den Lichtstrahlen überein, die zur Lagrangefunktion
L = L1 + L2 (6.59) gehören. Dort entkoppeln
U
τB
die Bewegungsgleichungen für t(s) und x(s). Die Zeitkoordinate
löst ¨t = 0 und ist eine linear inhomogene Funktion
t(s) = a s + t(0) des Bahnparameters. Bei versetzter Startzeit
t(0) = t+dt trifft der räumlich unveränderte Lichtstrahl
um dt später bei B ein.
Der Beobachter sieht daher die Uhr mit derselben Koor-
τU B
dinatendifferenz dt ticken, während die Zeit
(6.77)
τB =g00(xB)/g00(xU) τU
auf seiner eigenen Uhr abläuft.
Abbildung 6.1: Gravitative Ruht die Uhr in der Schwarzschildmetrik g00(x) = 1−r0/r
Zeitdehnung
an einem tieferen Ort, so ist g00(xU) < g00(xB) und die Zeitdifferenz
τB ist größer als τU. Die Uhr, die der Beobachter im tieferen Gravitationspotential
ruhen sieht, erscheint ihm also nicht nur perspektivisch kleiner, sondern auch
langsamer als seine eigene Uhr. Geht der Beobachter zu der entfernten Uhr hin, so stellt
er fest, daß sie normal geht und normale Größe hat. An Ort und Stelle laufen physikalische
Vorgänge normal ab.
Schwingt ein bei xU ruhender Sender mit der Frequenz νU = n/τU, so beobachtet B
diese n Schwingungen, während bei ihm die Zeit τB vergeht. Er nimmt die Frequenzen von
Quellen, die tiefer im Gravitationspotential ruhen, rotverschoben und elektromagnetische
Wellenlängen λB = c/νB um einen Faktor 1 + z vergrößert wahr,
νB =g00(xU)/g00(xB) νU , z = λB − λU
=g00(xB)/g00(xU) − 1 . (6.78)
λU
Ist die Metrik nicht konform statisch, so ist es normalerweise nicht möglich, in der gekrümmten
Raumzeit willkürfrei eine Klasse von ruhenden Beobachtern anzugeben. Dann
läßt sich gravitative Zeitdehnung nicht ohne weiteres vom Dopplereffekt trennen, bei dem
eine Relativbewegung von Quelle und Empfänger die Rotverschiebung verursacht.