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90 5 Elektrodynamik
Greenfunktion
An der Darstellung (5.59) der zweifach stetig differenzierbaren Funktion φ ist unbefriedigend,
daß sie von φ und nó−−→
gradφ auf dem Rand Gebrauch macht, daß aber bei
gegebenem ∆φ schon die Angabe der Randwerte von φ oder der Randwerte von nó−−→
gradφ
die Funktion φ eindeutig oder bis auf eine Konstante festlegt.
Eine Darstellung von φ, in der nur die Randwerte von φ und ∆φ auftreten, erhalten
wir mit Hilfe des Potentials G(x,y) am Ort x, das von einer Einheitsladung am Ort y in
einem Raum V erzeugt wird, dessen Randflächen geerdet sind, G(x,y)| = 0. Diese
x∈∂V
Funktion G ist nach George Green benannt. Auch bei anderen linearen, inhomogenen
Differentialgleichungen gewinnt man die Lösung für beliebige Inhomogenität aus der
zugehörigen Greenfunktion, das ist die Lösung für eine Inhomogenität, die auf einen
Punkt beschränkt ist. Die Funktion ist für x ∈ V und y ∈ V durch
G(x,y) =
1
|x − y| + g(x,y) , ∆g(x,y) = 0 , g(x,y)| = − x∈∂V 1
. (5.65)
|x − y|
gegeben, wobei g in V harmonisch ist und für verschwindende Randwerte von G sorgt.
Auch wenn G nur in Ausnahmefällen explizit und normalerweise nur numerisch bestimmt
werden kann, erlaubt die Greenfunktion wichtige Einsichten. Schneiden wir nämlich
wie in (5.53) aus V eine Kugel um y mit Radius ε heraus und betrachten wir
Îε(y) = d 3
xG(x,y) ∆φ(x) = d 3 xG(x,y) ∆φ(x) −∆G(x,y)φ(x), (5.66)
Vε
Vε
so läßt sich das Integral wie in (5.54) als Oberflächenintegral über ∂Vǫ = ∂V + ∂Kǫ
schreiben
Îε(y) = d
∂Vε
2 fóG(x,y) −−→
gradφ(x) −−−→
gradG(x,y)φ(x). (5.67)
Auf der Kugeloberfläche ∂Kε gilt bis auf Terme O(ε 0 ), die für ε → 0 endlich bleiben,
G(x,y) = 1
ε + O(ε0 ) , − −−→
gradG(x,y) = − 1
ε 2 n + O(ε0 ) . (5.68)
Daher folgt, wenn wir ε gegen Null gehen lassen, aus dem Mittelwertsatz der Integral-
rechnung wie in (5.58)
d 3 xG(x,y) ∆φ(x) =
V
∂V
d 2 fóG(x,y) −−→
gradφ(x) − −−→
gradG(x,y) φ(x)−4πφ(y) .
(5.69)
Berücksichtigen wir, daß G auf ∂V verschwindet und lösen wir auf, so erhalten wir die
Funktion φ(y) dargestellt durch ∆φ und durch ihre Werte auf dem Rand
φ(y) = − 1
d
4π V
3 xG(x,y) ∆φ(x) + 1
d
4π ∂V
2 fó−−→
gradG(x,y) φ(x) . (5.70)
Ist φ insbesondere das elektrostatische Potential, das in einem Gebiet V zu einer
Ladungsdichte ρ gehört, also ∆φ = −4π ρ erfüllt, und besteht der Rand von V aus den
5.4 Die elektrodynamischen Potentiale 91
Oberflächen mehrerer Leiter ∂Vα , α = 1, 2 . . ., so sind sie, wenn keine Ströme fließen,
Äquipotentialflächen φ| x∈∂Vα = uα und das Potential ist
φ(y) = d
V
3 xG(x,y) ρ(x) + 1
uα d
4π α ∂Vα
2 fó−−→
gradG(x,y) . (5.71)
An (5.71) verwundert, daß zum Potential am Ort y das Integral von ρ(x) mit G(x,y)
über x beiträgt, wobei y den Ort bezeichnet, an dem sich die Einheitsladung befindet, die
das Potential am Ort x verursacht. Man würde G(y,x) ρ(x) integriert über x erwarten.
Die Erwartung ist richtig, denn die Arbeit G(x,y), die man braucht, um eine Einheitsladung
im Feld einer anderen Einheitsladung bei y von einem Ort mit Potentialwert 0
an den Ort x zu bringen, ist dieselbe, wie diejenige, die man verrichtet, wenn man im
Feld einer Einheitsladung bei x eine andere Einheitsladung nach y bringt, Actio gleich
Reactio,
G(x,y) = G(y,x) . (5.72)
Diese Gleichung beweist man zunächst für innere Punkte y ∈ V und z ∈ V mit dem
Integral
0 = d
Vε
3 xG(x,y) ∆G(x,z) −∆G(x,y)G(x,z)
(5.73)
Dabei ist Vǫ das Volumen V , aus dem man eine Kugel Kε um y und eine Kugel ˆ Kε um
z herausgeschnitten hat. Das Integral verschwindet, weil die Greenfunktion G(x,y) und
G(x,z) in Vǫ als Funktion von x harmonisch ist.
Der Integrand ist eine Summe von Ableitungen
G(x,y) ∆G(x,z) −∆G(x,y)G(x,z) = ∂iG(x,y) ∂iG(x,z) −∂iG(x,y)G(x,z).
(5.74)
Mit dem Satz von Gauß folgt daher
0 =
∂Vε
d 2 f iG(x,y) ∂iG(x,z) −∂iG(x,y)G(x,z). (5.75)
Es trägt aber zum Oberflächenintegral über ∂Vε = ∂V + ∂Kε + ∂ ˆ Kε der Rand von V
nicht bei, da dort die Greenfunktion verschwindet.
Auf der Kugelfläche ∂Kε um y geht G(x,z) im Grenzfall ε → 0 stetig gegen G(y,z).
Die Funktion G(x,y) verhält sich wie 1/ε und der Gradient von G(x,y) wie −n/ε 2 (5.68).
Mit ε gegen Null geht daher nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung das Integral
über ∂Kε gegen 4πG(y,z).
Entsprechend geht das Integral über die Kugelfläche ∂ ˆ Kε um z gegen −4πG(z,y).
Das Ergebnis
0 = 4πG(y,z) − G(z,y) (5.76)
zeigt, daß in der Greenfunktion der Ort der verursachenden Ladung bei z und der Auswirkung
bei y vertauscht werden dürfen.