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156 7 Äquivalenzprinzip
Kegelabschnitts gibt es eine raumartige Fläche F, die zusammen mit dem Abschnitt
von A ein Volumen V berandet. Wir integrieren die Ungleichung (7.82) über das Gebiet
V und berücksichtigen, daß die Felder u die Bewegungsgleichungen erfüllen. Mit dem
Gaußschen Satz und der Bezeichnung km für die Komponenten der Flächennormalen
erhalten wir
d
∂V
3 xkm j m
= d
V
4 x∂mj m
≤ C d
V
4 xj 0 . (7.83)
Da der Strom auf der Anfangsfläche A verschwindet4 , trägt zum Integral über den Rand
von V nur die raumartige Fläche F bei.
F Die Ungleichung gilt auch für Teilgebiete Vt, die aus den Ereignissen
in V bestehen, die vor der Zeit t stattgefunden haben,
Ft
V und deren Rand aus (Teilen von) A besteht, gegebenenfalls Teilen
von F und einer Schicht Ft gleicher Zeit t. Wir verkleinern
A die linke Seite, wenn wir nur die Beiträge von Ft berücksichtigen,
denn auf der bezüglich j
Abbildung 7.1: Leeres
Gebiet V
m raumartigen Fläche ist der Integrand
des Flächenintegrals, km jm , nirgends negativ. Auf Ft ist
(k0, k1, k2, k3) = (1, 0, 0, 0),
d 3 xj 0
(t,x) ≤ C d 4 xj 0 t
= C dt ′
d 3 xj 0 (t ′ ,x) . (7.84)
Ft
Es genügt also die Ableitung der nicht negativen Größe W(t) =
Vt
d W
dt
F t ′
Vt d4 xj 0 der Ungleichung
≤ C W . (7.85)
Da W für Zeiten ˆt vor allen Ereignissen in V verschwindet (dann ist das Integrationsgebiet
Vˆt leer) und dieser Ungleichung genügt, muß es verschwinden. Denn addieren wir
auf der rechten Seite ein ε > 0, so können wir durch W + ε teilen und integrieren,
d (W + ε)
dt
≤ C (W + ε) , W(t) + ε ≤ ε e C (t−ˆt) . (7.86)
Da ε beliebig klein gewählt werden kann, muß W(t) zu allen Zeiten verschwinden, und
da der Integrand j 0 nicht negativ ist, muß j 0 und damit u und ∂u in Inneren von V
verschwinden.
Damit ist der Satz über das Abhängigkeitsgebiet gezeigt, zumindest, solange u und
∂u so klein sind, daß sie in der Umgebung U liegen, in der (7.82) gilt. Das ist aber für
stetige Felder u und ∂u keine Einschränkung, denn sie können die kleinen Werte nicht
überspringen.
Änderungen der Anfangsdaten oder der Inhomogenität wirken sich daher bei Feldern
mit Bewegungsgleichung (7.74) höchstens mit Lichtgeschwindigkeit aus. Nichts überholt
Licht.
Die niedrigeren Ableitungen in (7.74) wirken sich nicht auf das Abhängigkeitsgebiet
aus. Insbesondere führt ein negatives Massenquadrat, f = −m 2 u, nicht zu tachyonischer,
überlichtschneller Ausbreitung von geänderten Anfangswerten. Ebenso spielen die
4 Auf der Anfangsfläche A reicht die Bedingung kmj m ≥ 0, daß nichts hineinströmt.
7.5 Lichtstrahlen 157
Konnektionsterme in kovarianten Wellengleichungen von Vektoren und Tensoren für das
Abhängigkeitsgebiet keine Rolle.
Geometrische Optik
Elektromagnetische Wellen verhalten sich im Gravitationsfeld nicht universell. So wie
am Spalt die Beugungserscheinungen von der Wellenlänge abhängen, so sind die Einflüsse
ungleichmäßiger Gravitation auf elektromagnetische Wellen verschieden, wenn die
Wellen verschiedene Wellenlängen haben. Universell ist das Verhalten elektromagnetischer
Wellen nur in dem Grenzfall, in dem die Wellenlänge vernachlässigbar klein wird
gegenüber den Abmessungen, auf denen sich die Metrik gmn ändert.
Wir untersuchen diesen Grenzfall verschwindender Wellenlängen als Grenzwert ε → 0
des Ansatzes
Am(x, ε) = ℜ ε am(x, ε) e −i
θ(x)
ε , θ(x) = θ ∗ (x) (7.87)
für das elektromagnetische Potential Am(x). Diesen Ansatz findet man unter den Namen
Eikonalnäherung, Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung oder Geometrische Optik
in verschiedenen Bereichen der Theoretischen Physik. Hier unterstellt er, daß es möglich
ist, für kurze Wellenlängen eine Schar von Lösungen der Maxwellgleichung mit einer
reellen Funktion, der Phase θ(x), und mit komplexen Amplituden am(x, ε) zu finden, die
nur wenig von der Wellenlänge abhängen, so daß sie bei ε = 0 stetig sind und durch eine
Potenzreihe in ε angenähert werden können
am(x, ε) =
N
j=0
am,j(x) ε j + om,N(ε, x) , lim
ε→0 ε −N om,N(ε, x) = 0 . (7.88)
Dabei steht om,N(ε, x) für Restterme, die schneller als ε N verschwinden. Im flachen Raum
löst der Eikonalansatz mit θ(x) = kóx und einer konstanten Amplitude die Wellengleichung.
Die Flächen, auf denen die reelle Funktion θ konstant ist, sind für ε → 0 die Wellenfronten
konstanter Phase, denn die Phasen αm(x, ε) der Amplituden am = rme iαm
sind nach Annahme entwickelbar und die Fronten gleicher Phase θ + εαm = konst sind
für ε → 0 für alle vier Komponenten des Viererpotentials gemeinsam durch θ = konst
gegeben. Demnach ist
km = ∂mθ(x) (7.89)
der allen vier Potentialen gemeinsame Wellenvektor. Er steht im Grenzfall verschwindender
Wellenlänge senkrecht auf der Wellenfront.
Der Wellenvektor ist tangential an die Weltlinie x m (λ), den Lichtstrahl, den er durch
die Differentialgleichung
dx m
dλ = gmn kn definiert. (7.90)
Zur Auswertung des Eikonalansatzes bemerken wir, daß eine komplexe Funktion bei
ε = 0 verschwindet, f(0) = 0, falls sie dort stetig ist und falls im offenen Intervall