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A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Die Raumzeit hat die mathematische Struktur einer Mannigfaltigkeit M. Sie besteht
aus Punkten p, die wir Ereignisse nennen und durch Koordinaten
x = (x 1 , x 2 , . . .,x d ) (A.1)
bezeichnen. Wir nennen die Raumzeit kürzer Raum, wenn keine Mißdeutung zu befürchten
ist. Hier sollen kurz die für Mannigfaltigkeiten wichtigsten Begriffe zusammengestellt
werden und dabei die Physikern geläufigen Schlampigkeiten in Kauf genommen werden.
Eine genaue Darstellung findet sich zum Beispiel knapp zusammengefaßt bei [59] und in
vielen mathematischen Lehrbüchern [60, 61, 62].
Die Anzahl d der Koordinaten, die zur Bezeichnung eines Punktes benötigt werden,
ist die Dimension der Mannigfaltigkeit. Ohne es weiter zu erwähnen, verschieben wir
oft, insbesondere wenn die erste Koordinate eine Zeit bezeichnet, die Bezeichnungen zu
x = (x 0 , x 1 , . . .,x d−1 ). Die physikalische Raumzeit ist vierdimensional, d = 4, allerdings
ist dies ein Befund, der sich bei höherer experimenteller Auflösung ändern könnte. Was
uns als Punkt erscheint, ist möglicherweise in weitere Dimensionen ausgedehnt und nur
klein.
Nach Voraussetzung wird die Mannigfaltigkeit von Umgebungen Uα ⊂ M überdeckt,
die jeweils durch eine Abbildung φα, das Koordinatensystem φα, bijektiv und beiderseits
stetig in Umgebungen φα(Uα) ⊂ R d abgebildet werden.
φα :Uα ⊂ M → φα(Uα) ⊂ R d
p ↦→ x(p)
(A.2)
Dabei ist α aus einer Indexmenge, die Umgebungen und Koordinatensysteme bezeichnet.
Weil jede Koordinatenabbildung lokal bijektiv ist, gestatten sich Physiker häufig, bei
fest gewähltem Koordinatensystem die Koordinaten x(p) = φα(p) zur Benennung der
Punkte p zu verwenden, also vom Punkt x zu reden, statt genauer vom Punkt p mit
φα-Koordinaten x.
In einem anderen Koordinatensystem φβ bezeichnen wir dieselben Punkte mit Koordinaten
x ′ . Diese Koordinaten können in ihrem gemeinsamen Gültigkeitsbereich ineinander
umgerechnet werden, das heißt, in φα(Uβ ∩ Uα) sind die neuen Koordinaten x ′
invertierbare Funktionen der alten, x ′ (x) = Nβα(x),
Nβα = φβ ◦ φ −1
α
. (A.3)
In differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist vorausgesetzt, daß die Koordinatentransformationen
Nβα zwischen den betrachteten Koordinatensystemen genügend oft differenzierbar
sind.