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246 C Elementare Geometrie
so gehört die hier auftretende Matrix M −1 zur Holonomiegruppe GU des Punktes U,
nämlich zur Parallelverschiebung von U längs des Strahls zu A, längs der Kurve Γ zu B
und dann zurück längs des Strahls zu U
M −1 a b eb |U = PΓ −1
B PΓPΓA ea |U . (C.83)
Insbesondere gehören zu Paralleltransport Pξ längs infinitesimaler Kurven von x zu x+ξ
Matrizen M −1 = 1 − T der Holonomiegruppe GU, die dem Einselement infinitesimal
benachbart sind
(δa b − Ta b )eb |U = PΓ −1
x+ξ PξPΓxea |U = PΓ −1
x+ξ Pξea |x = PΓ −1
x+ξ (ea − ξ m ωm a b eb)|x+ξ
=ea − ξ m ωm a b (x)eb|U
.
(C.84)
Die Matrix mit Elementen Ta b = ξ m ωm a b (x) gehört folglich zu infinitesimalen Holonomietransformationen,
daher schreibt sich die Konnektion mit einer Basis Ti von Matrizen,
die diese Liealgebra aufspannen, als
ωm a b (x) = ωm i (x)Ti a b , [Ti, Tj] = fij k Tk . (C.85)
Der Paralleltransport ist durch liealgebrawertige Vektorfelder ω i m(x) gegeben, deren Anzahl
mit der Dimension der Holonomiegruppe übereinstimmt. Die parallel verschobenen
Basisvektoren haben an jedem Punkt des sternförmigen Gebietes die Form
Pξea |x = (ea − ξ m ω i mTi a b eb)|x+xi
. (C.86)
Daher sind die Komponenten des Riemanntensors (C.20) Linearkombinationen der xunabhängigen
Matrizen Ti
Rcda b = ec m ed n∂mω i n − ∂nω i m − ω j mω k nfjk iTi a b . (C.87)
Dies gilt allerdings normalerweise nicht in der Koordinatenbasis mit Konnektion Γkl m ,
denn wählt man am Ursprung U des sternförmigen Gebiets als Basis die Tangentialvektoren
der Koordinatenlinien und verwendet man, um die Konnektion zu vereinfachen, diese
parallel längs Strahlen verschobenen Vektoren als Basis im gesamten Gebiet, so sind sie
normalerweise an anderen Punkten nicht die Tangentialvektoren an Koordinatenlinien.
Wir haben zur Vereinfachung mit einer Basis gearbeitet, die durch Paralleltransport
vom Ursprung längs Strahlen definiert ist, und den Ursprung dadurch ausgezeichnet, daß
dort ωi n verschwindet. Gehen wir an jedem Punkt durch eine Holonomietransformation
oder eine Transformation aus einer eventuell größeren Gruppe, die wir Eich- oder Strukturgruppe
nennen, zu einer anderen Basis über, die differenzierbar mit der bisherigen
Basis zusammenhängt, solch einen Basiswechsel nennen wir Eichtransformation, so sind
der Ursprung und Strahlen vom Ursprung nicht mehr ausgezeichnet.
Eichtheorien
Die Vektoren, die man parallel verschieben kann, müssen nicht unbedingt geometrisch
anschauliche Vektoren sein, wie sie als Tangentialvektoren an Kurven auftreten. In der
C.4 Basiswechsel 247
Theorie der Elementarteilchen beschreibt man Materie durch ein Feld ψ(x) = ψ c (x)fc |x,
das Werte in einem Vektorraum I, dem Isoraum, annimmt. Die Komponentenfelder
ψ c (x) gehören zu Teilchen wie Elektronen, Neutrinos oder Quarks. Sie unterscheiden
sich in Eigenschaften, den Isoladungen, die in der Elementarteilchenphysik mit Namen
wie Ladung, Geschmack (Flavour) und Farbe (Colour) bezeichnet werden.
Für die Isovektoren fc |x ist an jedem Punkt x Addition und Multiplikation mit Zahlen
erklärt, sie bilden eine Basis, ψ(x) = ψ c (x)fc |x. Dabei durchläuft der Index c die
natürlichen Zahlen bis zur Dimension dim(I) des Isoraumes.
Der Paralleltransport von Isovektoren von x zum infinitesimal benachbarten Punkt
x + ξ ist aus den gleichen Gründen wie bei Vektoren von der Form
Pξfc |x =fa − ξ m Am c d fd|x+ξ
. (C.88)
Ebenso lassen sich die Felder Am c d = A i mτi c d als Linearkombination von x-unabhän-
gigen Darstellungsmatrizen τi der Liealgebra infinitesimaler Holonomietransformationen
oder Eichtransformationen schreiben. Die Felder Ai m (x), die den Paralleltransport von
Isovektoren definieren, heißen in der Physik Viererpotential, Eichfeld oder Yang-Mills-
Feld und gehören zu Photonen, W- und Z-Bosonen und Gluonen, die elektromagnetische,
schwache und starke Wechselwirkungen verursachen.
Die kovariante Ableitung von Isovektorfeldern ist wie in (C.37) durch
Da(ψ c fc) = ea m (∂mψ c + A i mτi d c ψ d )fc
(C.89)
gegeben. Nur zählen hier die Indizes c und d die Basis des Isoraumes ab und durchlaufen
die natürlichen Zahlen bis dim(I).
Aus Da(Dbfc) − Db(Dafc) − D[ea,eb]fc = Fab i τi c d fd liest man die Isokrümmung Fab i ,
die Feldstärke der Eichfelder A i m, ab
Fab i = ec m ed n∂mA i n − ∂nA i m − Aj m Ak n fjk i. (C.90)
Hier treten die Strukturkonstanten fjk i der Liealgebra der Eichtransformationen auf,
[τi, τj] = fij k τk . Sie bestimmen zusammen mit den Darstellungsmatrizen τi im Standardmodell
der Elementarteilchen die Kopplungen von Eichfeldern und Materiefeldern.
Die Eichfelder Am i und die Darstellungsmatrizen τi definieren durch A = dx m Am i τi
eine Liealgebrawertige Differentialform A, mit der sich die Feldstärke, so wie die Krümmung
(C.23), indexfrei als Zweiform schreibt
F = dA − A 2 , F = e a e b1
2 Fab i τi . (C.91)
Differenziert man erneut, so folgt mit d 2 = 0 (A.96) und der Produktregel (A.95)
dF = −(dA)A + AdA = 1
2 ((dea )e b Fab i τi − e a (de b )Fab i τi + e a e b e c ec m ∂mFab i τi) . (C.92)
Setzt man hier (C.14) und (C.91) ein und bringt alle Terme auf eine Seite, so kombinieren
sich die partielle Ableitung und die AF- und ωF-Terme zur kovarianten Ableitung und
man erhält die zweite Bianchiidentität (C.62)
○
abc
(DaFbc i + Tab e Fec i ) = 0 . (C.93)