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270 D Die Lorentzgruppe
D.5 Möbiustransformationen von Lichtstrahlen
Für jeden Wellenvektor k m eines Lichtstrahls verschwindet die Determinante der Matrix
ˆk = k m ηmnσ n , denn sie ist das Längenquadrat des Vierervektors k (D.65) und k ist
lichtartig, k 2 = 0. Weil die Matrix ˆ k nur Rang 1 hat, lassen sich ihre Matrixelemente als
Produkte k α ˙ β = χαχ ∗ ˙ β der Komponenten eines zweidimensionalen, komplexen Vektors χ
schreiben
k 0 − k 3 −k 1 + ik 2
−k 1 − ik 2 k 0 + k 3=χ1
χ2χ ∗ 1 , χ∗2,χ1 χ2=e iγ
√
k0 − k3 . (D.78)
− k1 +ik2 √
k0−k3 Dabei ist χ durch ein gegebenes ˆ k, ˆ k = ˆ k † = 0, det ˆ k = 0, bis auf eine Phase bestimmt.
Lorentztransformationen ändern k α ˙ β = χαχ ∗ ˙ β in k ′
α ˙ β = Mα γ M ∗ ˙ β
˙δ kγ ˙ δ (D.61) und trans-
formieren demnach χ in χ ′ α = Mα βχβ χ ′ 1
χ ′ + bχ2
b
M =a
a, b, c, d ∈ C , ad − bc = 1 . (D.79)
2=aχ1
cχ1 + dχ2,
c d,
Einen zweidimensionalen, komplexen Vektor, der wie χ linear unter M ∈ SL(2, C) transformiert,
nennen wir Spinor.
Das Verhältnis z = χ1/χ2 der Komponenten des zum Lichtstrahl gehörigen Spinors
hängt umkehrbar eindeutig mit der Richtung e zusammen, aus der man den Lichtstrahl
einfallen sieht. Denn der Wellenvektor eines Lichtstrahls hat die Form (k 0 , k) =
k 0 (1, −e). Drücken wir die Richtung wie in (2.25) durch die Winkel θ und ϕ aus,
e = (sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, cosθ), so ergibt sich mit der trigonometrischen Identität (3.20)
z = χ1
χ2
= − k0 − k 3
k 1 + ik
1 + cosθ θ
= = cot
2 sin θ eiϕ 2 e−iϕ . (D.80)
Da die Richtung z eines Lichtstrahls das Verhältnis von Spinorkomponenten ist, ändern
es Lorentztransformationen Λ durch die zum Matrixpaar ±M(Λ) ∈ SL(2, C)/Z2 gehörige
Möbiustransformation
az + b
TM : z ↦→ . (D.81)
cz + d
Aberration und Drehung sind Möbiustransformationen von z = cot θ
2 e−iϕ .
Zu gegebener Möbiustransformation mit Koeffizienten a, b, c, d ∈ C gehört jeweils ein
Paar von linearen Transformationen mit Matrizen ±M. Also ist die Möbiusgruppe zur
Gruppe SL(2, C)/Z2 und demnach zur eigentlichen Lorentzgruppe SO(1, 3) ↑ isomorph.
Sind z1, z2, z3 drei verschieden Punkte der Riemannschen Zahlenkugel C ∪ ∞ und sind
w1, w2, w3 ebenfalls verschieden, dann gibt es genau eine Möbiustransformation [65]
z ↦→ Tz :
(Tz − w1)(w2 − w3)
(Tz − w2)(w1 − w3) = (z − z1)(z2 − z3)
, (D.82)
(z − z2)(z1 − z3)
die z1 in w1 = Tz1, z2 in w2 = Tz2 und z3 in w3 = Tz3 überführt.
Demnach gibt es an einem Ort genau einen Beobachter, der drei vorgegebene Sterne
in drei vorgegebenen Richtungen sieht. Die Örter der anderen Sterne liegen dann fest.
Der Spinorkalkül ist in [66] der Zugang zur relativistischen Physik.
E Konforme Abbildungen
E.1 Konform verwandte Metriken
Zwei Metriken ˆgmn(x) und gmn(x) auf einer Mannigfaltigkeit M heißen konform verwandt,
wenn sie an jedem Punkt zueinander proportional sind
ˆgmn(x) = Ω 2 (x)gmn(x) . (E.1)
Der konforme Faktor Ω2 darf vom Ort abhängen, aber nirgends verschwinden.
Metriken sind genau dann konform verwandt, wenn ihre Lichtkegel übereinstimmen.
Es gibt an jedem Punkt eine Orthonormalbasis ea mit g(ea, eb) = ηab (A.107). wobei η
p-Pluszeichen und q-Minuszeichen habe. Lichtartige Vektoren von g sind Linearkombi-
nationen k = kaea mit p
a=1(ka ) 2 = p+q
a=p+1(ka ) 2 . Sie sind invariant unter der Reflektion
k ↦→ ¯ k, die das Vorzeichnen der raumartigen Komponenten spiegelt. Damit k und ¯ k auch
lichtartig bezüglich ˆg sind, muß der Anteil im beider Längenquadrat verschwinden, der
unter Spiegelung sein Vorzeichne wechselt. Daher ist ˆg(ea, eb) = 0, falls ea zeitartig und
eb raumartig ist. Weiterhin definiert ˆg(ea, eb) quadratische Formen im zeitartigen und
im raumartigen Unterraum, die mit Drehungen aus O(p) × O(q) diagonalisiert werden
können und die invariant unter allen Drehungen O(p) × O(q) sein müssen, denn der
Lichtkegel von g ist darunter invariant. Daher ist ˆg(ea, eb) = Ω2ηab = Ω2g(ea, eb).
Größenverhältnisse von Tangentialvektoren und Winkel zwischen ihnen, die man mit
konform verwandten Metriken mißt, stimmen überein. Denn sie sind durch Verhältnisse
von Skalarprodukten definiert; und für die Skalarprodukte uóv = umvngmn und u ∗ v =
umvnΩ2gmn = Ω2uóv und für beliebige Vektoren u, v, w und x gilt
Verwandte geodätische Linien
u ∗ v uóv
= . (E.2)
w ∗ x wóx
Lichtstrahlen, die Weltlinien von Lichtpulsen, sind lichtartige geodätische Linien x(s)
und stimmen bei konform verwandten Metriken überein. Denn das Christoffelsymbol
ˆΓkl m der Metrik ˆgmn hängt mit dem Christoffelsymbol Γkl m der Metrik gmn durch
ˆΓkl m = Γkl m + Skl m , Skl m = Ω −1 (∂kΩδl m + ∂lΩδk m − gklg mn ∂nΩ) (E.3)
zusammen. Wenn wir den Tangentialvektor dx
dˆs längs des Lichtstrahls mit ˆ Γ kovariant
ableiten (C.114)
d2xm dx
+dxk
dˆs 2 dˆs
l
dˆs ˆ Γkl m = d2xm dˆs
dx
+dxk
2 dˆs
l
dˆs Γkl m +2 Ω −1dxm
dˆs
dΩ
dˆs −Ω−1dx
dˆsódx
dˆs gmn ∂nΩ , (E.4)