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166 8 Dynamik der Gravitation
Der Riemanntensor hat die Matrixelemente
Rt t = 0 ,
Rr t = dtdre µ−ν1 1
¨µ +
2
Rθ t = dtdθ− 1
2 e−µ rν
Rϕ t = dtdϕ− 1
2 e−µ r sin 2 θ ν
Rt r = dtdr1
Rr r = 0 ,
2
4 ˙µ2 − 1 1
˙µ ˙ν−
4 2 ν ′′ − 1
4 (ν ′ ) 2 + 1
′+drdθ−
1
2 e−νr ˙µ,
′+drdϕ−
1
2 e−νr sin 2 θ ˙µ,
4 µ ′ ν ′,
1
¨µ +
4 ˙µ2 − 1 1
˙µ ˙ν + eν−µ−
4 2 ν ′′ − 1
4 (ν ′ ) 2 + 1
4 µ ′ ν ′,
Rθ r = dtdθ 1
2 re−µ ˙µ + drdθ 1
2 re−µ µ ′ ,
Rϕ r = dtdϕ 1
2 re−µ sin 2 θ ˙µ + drdϕ 1
2 re−µ sin 2 θ µ ′ ,
Rt θ = dtdθ− 1
2r eν−µ ν
Rr θ = dtdθ− 1
Rθ θ = 0 ,
2r
′+drdθ− 1
2r ˙µ,
1
˙µ+drdθ− µ
′,
2r
Rϕ θ = dθdϕ sin 2 θ1 − e −µ,
Rt ϕ = dtdϕ− 1
2r eν−µ ν
′+drdϕ−
1
2r ˙µ,
Rr ϕ = dtdϕ− 1
Rθ ϕ = dθdϕ−1 + e −µ,
Rϕ ϕ = 0 .
1
˙µ+drdϕ− µ
′,
2r 2r
(8.30)
Zur Kontrolle der Rechnung überprüft man leicht, daß der Riemanntensor antisymmetrisch
im zweiten Indexpaar ist, Rklm s gsn = −Rkln s gsm (C.25), und die Bianchiidentität
Rklm n + Rlmk n + Rmkl n = 0 (C.60) erfüllt.
Aus dem Riemanntensor ergeben sich die folgenden nichtverschwindenden Komponenten
des Riccitensor Rkl = Rkml m
1
Rtt =1
¨µ + ˙µ( ˙µ − ˙ν)+e
ν−µ−
1
2 4 2 ν ′′ ′ ν
−
r
Rrr =e
µ−ν−
1 1
¨µ − ˙µ( ˙µ − ˙ν)+1
2 4 2 ν ′′ ′ µ
−
r
Rtr =Rrt = − ˙µ
r ,
Rθθ =e −µ1 − e µ − r
2 (µ ′ − ν ′ ),
Rϕϕ =e −µ sin 2 θ1 − e µ − r
2 (µ ′ − ν ′ ),
+ ν ′
4 (µ ′ − ν ′ ),
− ν ′
4 (µ ′ − ν ′ ),
(8.31)
der Krümmungsskalar R = g kl Rkl,
8.4 Schwarzschildlösung 167
R = e −ν¨µ + 1
2 ˙µ( ˙µ − ˙ν)+e −µ−ν ′′ + µ ′ − ν ′
+
r
ν ′
− 2
r 2e−µ1 − e µ − r
2 (µ ′ − ν ′ ),
2 (µ ′ − ν ′ )
(8.32)
und der Einsteintensor Gmn = Rmn − 1
2 gmnR, Gmn = Gnm. Er hat in der Indexstellung
G m n = g mk Gkn folgende nichtverschwindende Komponenten
G t t = 1
r 2e −µ (1 − rµ ′ ) − 1,
G r t = 1
r e−µ ˙µ , G t r = − 1
r e−ν ˙µ ,
G r r = 1
r 2e −µ (1 + rν ′ ) − 1,
G θ θ = G ϕ ′′
ϕ = e
−µν
2 − µ ′ − ν ′
2r
8.4 Schwarzschildlösung
− 1
4 ν ′ (µ ′ − ν ′ )+e
−ν−
1 1
¨µ − ˙µ( ˙µ − ˙ν).
2 4
(8.33)
Sind die Komponenten G t t, G r r und G r t des kugelsymmetrischen Einsteintensors mit
den Einsteingleichungen Gmn = −κTmn durch den Energie-Impulstensor gegeben, so
können daraus durch Integration µ(t, r) bis auf eine Konstante und ν(t, r) bis auf eine
Funktion 2k(t) bestimmt werden
∂
∂rre −µ=1 + r 2 G t t ,
ν ′ = 1
r−1 + e µ1 + r 2 G r r.
∂
∂tre −µ=−r 2 G r t , (8.34)
(8.35)
Falls insbesondere der Energie-Impulstensor und der Einstein-Tensor in einem Bereich
bis auf eine kosmologische Konstante verschwinden, falls dort also Gmn = −Λgmn gilt,
läßt sich (8.34) einfach integrieren. Es ist re −µ = r − Λ
3 r3 −r0 mit einer Integrationskonstante
r0, die zeitunabhängig ist, weil G r t verschwindet. Daher gilt
grr = −
1 − r0
r
1
Λ . (8.36)
− r2
3
Aus G t t − G r r = 0 folgt µ ′ + ν ′ = 0, also µ + ν = 2k(t) oder e ν = e 2k(t) e −µ . Die Integrationskonstante
k(t) kann in einer neuen Zeitkoordinate dt ′ = e k(t) dt absorbiert werden.
Dann gilt
gtt = − 1
grr
= 1 − r0
r
− Λ
3 r2 . (8.37)
Damit ist das Birkhoffsche Theorem gezeigt: Jede kugelsymmetrische Lösung der Einsteingleichungen
ist außerhalb der Materie statisch, auch wenn im Inneren der Materie