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172 8 Dynamik der Gravitation
der von M1 oder M3 kommt, längs einer zeitartigen Weltlinie am Horizont den Wert
r2, so vergrößert sich mit dem Universum, das sich wegen der positiven kosmologischen
Konstante ausdehnt, anschließend unausweichlich der Abstand r zur gravitationserzeugenden,
kugelsymmetrischen Masse.
Zwischen r1 und r2 wechselt das Gewicht eines ortsfesten Beobachters, der eine Weltlinie
mit dt
ds = 1/√gtt und dr = dθ = dϕ = 0 durchläuft, sein Vorzeichen. Seine Be-
schleunigung b n = d2 x n
ds2 n dxk + Γkl ds
dx l
ds in radialer Richtung ist durch das Skalarprodukt
erób mit dem radialen Einheitsvektor er gegeben. Für sein Gewicht m erób in einer
drehinvarianten, zeitunabhängigen Metrik mit gtt = −1/grr ergibt sich wie bei (6.93)
FGewicht = m d √
gtt . (8.50)
dr
Die Wurzel √ gtt entspricht also dem Newtonschen Gravitationspotential.
Die Ableitung von gtt wechselt zwischen den Nullstellen r1 und r2 ihr Vorzeichen und
verschwindet bei einem Wert r, den wir als Reichweite der Anziehung der Zentralmasse
bezeichnen können. Bei r1 kann keine endliche Beschleunigung den Absturz ins Schwarze
Loch verhindern, bei r2 kann keine endliche Beschleunigung ein Vergrößern des Abstandes
zum Gravitationszentrum vermeiden.
Man kann nicht mit Kruskalkoordinaten r1 und r2 gemeinsam überdecken, denn der
bei r1 radial auslaufende Lichtstrahl verharrt bei r1 und schneidet nie den bei r2 radial
einlaufenden Lichtstrahl, der bei r2 bleibt.
Ein Beobachter bei r2 ist ein Viertel des Umfangs des de Sitter-ähnlichen Universums
vom Gravitationszentrum in M1 und M3 entfernt. Die drehinvariante Vakuumlösung
der Einsteingleichungen mit positiver kosmologischer Konstante beschreibt ein Paar antipodaler
Gravitationszentren gleicher Masse.
8.6 Lösung im Inneren von Materie
Als Quelle einer kugelsymmetrischen Metrik muß der Energie-Impulstensor eines idealisierten
Sterns, der sich nicht dreht, kugelsymmetrisch sein. Es können daher nur die
Komponenten T tt , T tr = T rt , T rr und T θθ = sin 2 θ T ϕϕ von Null verschieden sein, und sie
dürfen nicht darüber hinaus von θ und ϕ abhängen. Wenn die Bewegungsgleichungen der
Materiefelder aus einer Wirkung folgen, die invariant unter Koordinatentransformationen
ist, ist der Energie-Impulstensor kovariant erhalten (G.51) und erfüllt DmT m n = 0.
Die r-Komponente dieser Identität kann nach T θ θ aufgelöst werden
0 = ∂tT t r + ∂rT r r + 1
2 ( ˙µ + ˙ν)T t r + ν′
2 (T r r − T t t) + 2
r (T r r − T θ θ) . (8.51)
Die t-Komponente besagt
0 = ∂tT t t + ∂rT r t + 2
r T r t + 1
2˙µ(T t t − T r r) + (ν ′ + µ ′ )T r t. (8.52)
8.6 Lösung im Inneren von Materie 173
Dabei verschwindet getrennt der eingeklammerte Teil, denn aus DmT mn = 0 folgt
G l mT m k = T l mG m k (H.1) und für eine drehinvariante Metrik und einen drehinvarianten
Energie-Impulstensor lautet die r-t-Komponente dieser Gleichung
0 = G r t(T t t − T r r) − T r t(G t t − G r r) = e−µ
r˙µ(T t t − T r r) + (ν ′ + µ ′ )T r t. (8.53)
Daher erfüllt der Energie-Impulstensor die Gleichung ∂t(r 2 T t t) = −∂r(r 2 T r t). Sie legt
T r t vollständig fest
T r t(t, r) = − 1
r 2
r
0
dr ′ r ′2 ˙
T t t(t, r ′ ) , (8.54)
falls der Energie-Impulstensor überall endlich ist. Insbesondere wird die Integrationskonstante
von r 2 T r t dadurch festgelegt, daß T r t bei r = 0 endlich ist.
Damit sind die Einsteingleichungen (8.34, 8.35) für beliebig vorgegebene T t t und T r r
integrabel
e −µ(t, r) = −g rr (t, r) = 1 − κ
dr
r 0
′ r ′2 T t t(t, r ′ ) ,
r
′ 1
ν(t, r) = ln gtt(t, r) = dr
0 r ′e µ (1 − κr ′2 T r r(t, r ′ )) − 1.
r
(8.55)
Die Integrationskonstante von e−µ ist durch die Forderung festgelegt, daß die Metrik
bei r = 0 existiert. Ein zeitabhängiger Term ν(t, 0), der in der allgemeinen Lösung von
ν(t, r) zusätzlich auftreten könnte, kann durch Wahl einer neuen Zeitkoordinate t ′ , die
dt ′ = e ν
2dt erfüllt, absorbiert werden.
Im Inneren einer Hohlkugel, T mn (t, r) = 0 für r < R, hebt sich die Gravitation
außenliegender, kugelsymmetrisch verteilter Massen auf.
Die weiteren Eigenschaften der kugelsymmetrischen Lösung der Einsteingleichung
(8.55) beruhen auf Materieeigenschaften. Untersucht man Materie, die wie eine Flüssigkeit
keine Scherspannungen zuläßt, in der sich also das Gewicht der Materie nicht
wie in einem Gewölbe aus Kugelschalen abstützen kann, so ist T θ θ = T r r. Der Energie-
Impulstensor ist dann an jedem Ort drehinvariant nicht nur unter Drehungen um die
Vertikale, sondern um alle Achsen. Mit einem Vierervektor u, u2 = 1, der tangential an
die Weltlinien der Teilchen ist, die den Stern bilden, hat solch ein Energie-Impulstensor
die Form
T mn = 1
c(ρc 2 + p)u m u n − pg mn. (8.56)
Die Größe ρc2 = cumunT mn ist an jedem Ort die Energiedichte im Ruhsystem der
dortigen Teilchen. Daß p als Druck zutreffend identifiziert ist, überprüft man mit der
Kontinuitätsgleichung DmT mn = 0. In Richtung von un besagt sie, daß die Länge des
Tangentialvektors konstant ist, senkrecht zu un , daß die Kraft auf die Teilchen der negative
Gradient des Druckes p ist
(ρc 2 + p)u m Dmu n = (g mn − u m u n )Dmp . (8.57)
Beim Vorzeichen ist zu beachten, daß räumliche Längenquadrate negativ sind. Auf der
linken Seite ist bemerkenswert, daß Druck zu Trägheit beiträgt.