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162 8 Dynamik der Gravitation
falls die x- und x ′ -Bereiche übereinstimmen. Kürzer gesagt ist die Wirkung invariant
unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Falls die Wirkung als Integral über
eine Mannigfaltigkeit M definiert ist, ist die Wirkung unter Transformationen der Metrik
invariant, die zu invertierbaren Selbstabbildungen von M gehören.
8.2 Einsteingleichungen
Zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen trennen wir die Änderung der Lagrangedichte
bei Änderung der Metrik in drei Anteile, die von der Änderung des Volumenelementes
√ g, der inversen Metrik g kl und des Riccitensors Rkl = Rkml m stammen
δ√ g(g kl Rkl − 2Λ)=(δ √ g)(R − 2Λ) + √ g(δg kl )Rkl + √ gg kl (δRkl) . (8.7)
Wie in Anhang I gezeigt, 1 gilt δ( √ g) = − 1√
ggklδg 2
kl und folglich
(δ √ g)(R − 2Λ) + √ g(δg kl )Rkl = √ g(δg kl )Rkl − 1
2 gklR + gklΛ. (8.8)
Der Term √ gg kl δRkml m trägt zur Änderung der Lagrangedichte nur Ableitungsterme
bei. Denn der Riemanntensor Rklm n (Γ) (C.76) ändert sich bei Änderung der Konnektion
bis auf Terme, die quadratisch in δΓ sind, um
Rklm n (Γ + δΓ) − Rklm n (Γ) =(∂kδΓlm n − Γkm r δΓlr n + Γkr n δΓlm r−k ↔ l, (8.9)
also um die antisymmetrisierte kovariante Ableitung von δΓ und einen Torsionsterm
δRklm n =DkδΓlm n−DlδΓkm n+Tkl r δΓrm n . (8.10)
Dabei ist die kovariante Ableitung Dk von δΓ mit der Konnektion Γ gebildet. Im vorliegenden
Fall ist diese kovariante Ableitung metrikkompatibel und torsionsfrei, und wegen
(I.16) gilt
√ kl
gg δRkml m = √ gg klDkδΓml m − DmδΓkl m
= √ gDkg kl δΓml m − g rs δΓrs k
= ∂k√
gg kl δΓml m − g rs δΓrs k. (8.11)
Die zugehörige Änderung der Wirkung verschwindet, da das Integral über diese Ableitungsterme
Oberflächenterme ergibt und da nach Voraussetzung nur solche Änderungen
der Metrik gkl betrachtet werden, die auf dem Rand des Integrationsbereiches verschwinden.
Daher ist
δWMetrik
δgkl 1 √
= gRkl −
2κ
1
2 gklR + gklΛ
(8.12)
die Variationsableitung der Einstein-Hilbert-Wirkung.
1 Wegen δgkmg mn + gkmδg mn = 0 unterscheidet sich die Ableitung nach der inversen Metrik g mn um
ein Vorzeichen und die Indexstellung von der Ableitung nach gkl.
8.2 Einsteingleichungen 163
Die Variationsableitung der Materiewirkung ist (bis auf einen Faktor 1)
die Energie-
2
Impulstensordichte (7.4)
δWMaterie
δgkl 1
=
(x) 2 Tkl . (8.13)
Sie stimmt im flachen Raum aufgrund der Bewegungsgleichungen der Materie bis auf
sogenannte Verbesserungsterme mit dem Energie-Impulstensor überein, der die Ströme
enthält, die zur Invarianz unter räumlichen und zeitlichen Translationen gehören.
Diese Identifizierung (G.55) der Variationsableitung der Materiewirkung als Energie-
Impulstensordichte ist eine Folge der Invarianz der Materiewirkung unter Wechsel des
Koordinatensystems und gilt unabhängig von Besonderheiten dieser oder jener Materiewirkung.
Spaltet man von Tkl = √ g Tkl das Volumenelement ab
Tkl = 2 δWMaterie
√
g δgkl , (8.14)
so erhält man mit Tkl die Komponenten des Energie-Impulstensors.
Bei Änderung der Metrik ändert sich also die Wirkung WMetrik + WMaterie um
δW = 1
d
2κ
4 x √ g δg klRkl − 1
2 gklR + gklΛ + κTkl. (8.15)
Sie ist genau dann stationär, wenn die Einsteingleichungen
gelten.
Der Tensor
Rkl − 1
2 gklR = −(κTkl + Λgkl) (8.16)
Gkl = Rkl − 1
2 gklR , (8.17)
der sich aus der Variationsableitung der Einstein-Hilbert-Wirkung ergibt und auf der
linken Seite der Einsteingleichungen auftritt, heißt Einsteintensor. Da er die Variationsableitung
einer Wirkung ist, die invariant unter Koordinatentransformationen ist, erfüllt
er die Noetheridentität (G.51)
D k Gkl = 0 , (8.18)
wie man mit (C.62) im Spezialfall verschwindender Torsion bestätigt.
Materiefelder nehmen bei der einfachsten Lösung ihrer Bewegungsgleichungen, im Vakuum,
den konstanten Wert an, für den ihre potentielle Energiedichte V minimal wird.
Entwickelt man in der Lagrangedichte der Materie die potentielle Energiedichte um ihr
Minimum, so trägt diese Vakuumenergiedichte zur Lagrangedichte mit − √ g Vmin auf gleiche
Art bei wie die kosmologische Konstante −Λ √
g und kann mit ihr zusammengefaßt
κ
werden. Die Einstein-Gleichungen lauten dann kürzer
Rkl − 1
2 gklR = −κTkl , (8.19)
allerdings ist dieser Energie-Impulstensor im Vakuum nicht Null, κTkl Vakuum = Λgkl.