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106 5 Elektrodynamik
Transformation von Wellenpaketen und Amplituden
Schreibt man die allgemeinste, fouriertransformierbare, reelle Lösung der homogenen
Wellengleichung A n = 0 als Wellenpaket (5.125),
A n
hom(x) =
d3k (2π) 32k0a n† ( k) e i kóx n
+ a ( −i kóx|
k) e √ , (5.165)
k0 = k 2
d
und spaltet man dabei das Lorentzinvariante Integrationsmaß
3k (2π) 32k0 (5.159) ab, dann
wird das Transformationsverhalten der Amplituden an† und an einfach. Da das Viererpotential
reell ist, ist an† ( k) das komplex Konjugierte der Amplitude an ( k). Die Komponente
k0 im Nenner und im Exponenten in kóx = k0x0 − k1x1 − k2x2 − k3x3 ist die
Funktion k0 = | k| der Integrationsvariablen.
Unter Translationen x ↦→ x + b ändern sich die Amplituden um eine Phase,
 n (x) = A n
(x − b) =
d 3 k
(2π) 3 2k 0(a n† ( k) e −i kób ) e i kóx + (a n ( k) e i kób ) e −i kóx. (5.166)
Unter Lorentztransformationen transformieren die Amplituden wie ein Vektorfeld auf
der Massenschale des Impulsraumes. Für das Skalarprodukt kó(Λ −1 x), das in (5.165)
auftritt, wenn wir das transformierte Feld Ân (x) = Λ n mA m (Λ −1 x) auswerten, gilt nämlich
kó(Λ −1 x) = (Λ −1 Λk)ó(Λ −1 x) = k ′óx mit k ′ = Λk, weil Skalarprodukte Lorentzinvariant
sind. Integrieren wir über die drei räumlichen Komponenten von k ′ statt von k und
verwenden wir a m (k) = a m (Λ −1 k ′ ) und daß d 3 k/k 0 = d 3 k ′ /k ′ 0 ein Lorentzinvariantes
Maß ist (5.159), so ergibt sich für das transformierte Wellenpaket
 n (x) = Λ n mA m (Λ −1 x) = Λ n
d
m
3k ′
(2π) 32k ′ 0a m† (Λ −1 k ′ ) e i k′óx m −1 ′ −i k
+ a (Λ k ) e ′óx.
(5.167)
Da die Bezeichnung der Integrationsvariablen, k ′ oder k, unwesentlich ist, zeigt dies,
daß zum lorentztransformierten Wellenpaket die lorentztransformierten Amplituden gehören,
â n (k) = Λ n ma m (Λ −1 k) . (5.168)
Die Komponenten des Wellenpakets sind durch die Lorenzeichung ∂mAm = 0 (5.89)
verknüpft. Da das retardierte Potential der Lorenzbedingung genügt,
3 d z
∂m
|z| jm 3 d z
(x − z) =
|z| ∂mj m (x − z) = 0 , (5.169)
muß auch das Wellenpaket ∂mA m hom = 0 erfüllen. Die vier Amplituden an† ( k) sind daher
eingeschränkt
kna n† ( k) = 0 . (5.170)
Zudem kann man noch, ohne die Lorenzbedingung zu verletzen und ohne die Potentiale
meßbar abzuändern, mit Eichfunktionen χ umeichen (5.84), die die Wellengleichung
erfüllen. Dies ändert die Amplituden um
a ′ n† ( k) = a n† ( k) + i k n χ † ( k) . (5.171)
5.6 Fernfeld räumlich begrenzter Ladungsdichten 107
Dabei ist χ † ( k) die Amplitude der Eichfunktion χ.
Gemäß (5.170) sind von den vier Amplituden des Viererpotentials nur drei unabhängig
und die Amplitude in Richtung des Viererwellenvektors kann weggeeicht werden (5.171).
Das Wellenpaket enthält also pro Wellenvektor k zwei Freiheitsgrade. Dies entspricht den
zwei Polarisationsrichtungen von Lichtstrahlen.
5.6 Fernfeld räumlich begrenzter Ladungsdichten
Ist die Quelle j m , die das retardierte Viererpotential erzeugt, räumlich auf ein Gebiet
beschränkt, dessen Ausdehnung klein ist gegen den Abstand r = |x|, so kann man den
Integranden von (5.143) durch eine Entwicklung nach y i /r nähern. Wir berücksichtigen
beim Fernfeld A m fern des Potentials nur Anteile, die im Grenzfall r → ∞ bei konstanter
retardierter Zeit t− = t − r/c nicht stärker als 1/r abfallen, und nähern die unterschiedliche
Retardierung der Beiträge von verschiedenen Orten y durch eine Taylorreihe. Die
Richtung von der Quelle ist n = x/r .
1 1 1
= + O(
|x − y| r r2) |x − y| = r1 − 2 x
r2óy 2 y
+
r21 2 = r − nóy + O( 1
r )
(5.172)
j m (t−r/c+nóy/c−O( 1
r )) = jm (t−)+ 1
c nóy ∂tj m (t−)+ 1
2c2(nóy) 2 ∂t 2 j m (t−)+. . . (5.173)
Dies gilt nur ungefähr, wenn sich während der Zeiten, um die sich die Lichtlaufzeiten
verschiedener Teile der Quelle unterscheiden, die Quelle jm nur wenig ändert.
In dieser Näherung ist das Fernfeld
A m 1
fern (t,x) = d
c r
3 y j m + 1
c ni
d 3 y y i ∂tj m + 1
2c2ni n j
d 3 y y i y j ∂t 2 j m, (5.174)
wobei j m , ∂tj m und ∂t 2 j m die Argumente (t−,y) haben und i, j ∈ {1, 2, 3} räumliche
Komponenten abzählen. Terme mit höheren Zeitableitungen vernachlässigen wir.
Für das skalare Potential A 0 = φ erhalten wir, da j 0 /c = ρ die Ladungsdichte ist,
φfern(t,x) = 1
r
d 3 y ρ + 1
d
ni d
c dt
3 y y i ρ + 1
2c2ni j d2
n
dt2
d 3 y y i y j ρ, (5.175)
also die zeitunabhängige Ladung q und zur retardierten Zeit t−r/c die Zeitableitung des
elektrischen Dipolmoments P und die zweiten Zeitableitungen der Quadrupolmomente
Q ij , die wir als Matrixelemente einer symmetrischen, spurfreien Matrix Q auffassen,
q = d 3 y ρ , P i
= d 3 y y i ρ , Q ij
=
φfern(t,x) = 1
rq + 1
c n ˙ P + 1
6c 2nó¨ Qn + 1
6c 2
d 3 y3y i y j − δ ij y 2ρ , δijQ ij = 0 , (5.176)
d 3 y y 2 ¨ρ. (5.177)