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150 7 Äquivalenzprinzip
Dies folgt aus der Kettenregel ∂ ′ my′i = ∂xu
m...s ∂xu
ε
∂x ′m∂uy i ′m ∂xu
und weil j ∂x ′m die Jacobi-Determinante
∂x ′m . . . ∂xv
∂x ′s = (det ∂x
∂x ′) εu...v enthält.
Multipliziert mit den partiellen Ableitungen ∂my n ergibt die Stromdichte j m entweder
Null oder die Jacobi-Determinante
j m ∂my 0 = det ∂y
∂x , jm ∂my i = 0 für i ∈ {1, 2, 3} . (7.44)
Sie ist demnach proportional zur ersten Zeile der inversen Jacobi-Matrix ∂x/∂y (I.8),
j m (x) = ∂xm
∂y0 det
| y(x)
∂y
, (7.45)
∂x |x
das heißt, proportional zum Tangentialvektor an die Weltlinie Γy, die x durchströmt.
Die Stromdichte sei zeitartig j m j n gmn ≥ 0.
Da das Volumenelement √ g wie eine skalare Dichte vom Gewicht 1 transformiert, sind
die Funktionen j m / √ g die Komponenten eines Vektorfeldes,
j m = √ g ρ u m , u 2 = 1 , ρ =
|jm jn gmn|
, (7.46)
g
dessen Betrag ρ ein Skalarfeld ist. Die Funktion ρ ist die Teilchendichte der Flüssigkeit im
mitbewegten Bezugssystem und das normierte Vektorfeld u m ihre Vierergeschwindigkeit.
Mit ρ ist ist auch jede Funktion µ(ρ) ein skalares Feld. Daher gehört die Lagrangedichte
LFlüssigkeit(g, ∂y) = − √ g µ(ρ) (7.47)
zu einer Wirkung, die unter Umbenennungen (7.39) und, wie Argumente wie auf Seite 161
zeigen, unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant ist.
Die Ableitung der Lagrangedichte nach der Metrik ist die Energie-Impulsdichte (7.4).
δWFlüssigkeit
= −1
δgmn(x) 2 T mn = − 1√
gg
2
mn µ+ µ′
ρ gj m j n −j k j l gkl g mn, µ ′ = dµ
. (7.48)
dρ
Durch die Dichte und die Vierergeschwindigkeit ausgedrückt (7.46) und mit
hat der Energie-Impulstensor T mn = T mn / √ g die Form
p = ρ µ ′ − µ (7.49)
T mn = (µ + p) u m u n − p g mn . (7.50)
Es sind folglich p(ρ) der Druck und µ(ρ) die Energiedichte der Flüssigkeit im mitbewegten
Bezugssystem als Funktion der Teilchendichte ρ.
Der Druck (7.49) gehört zu adiabatischer, also entropiebewahrender, Änderung des
Volumens der unveränderten Flüssigkeitsmenge, d(ρ V ) = 0 = (dρ) V + ρ dV . Denn
dabei ändert sich die Energie E = µ V im kleinen Volumen V um
dE = d(µ V ) = µ ′ (dρ) V + µ dV = −µ ′ ρ dV + µ dV = −p dV . (7.51)
7.4 Ideale Flüssigkeit 151
Ist beispielsweise die Energiedichte eine Potenz der Teilchendichte, µ = konstóρ k , so
ist der Druck p = (k − 1) µ proportional zur Energiedichte. Bei einem relativistischen
Gas ist der Energie-Impulstensor spurlos, T mn gmn = µ−3p = 0, und k = 4/3. Bei Staub
verschwindet der Druck, p = 0, k = 1. Eine konstante, positive Energiedichte, k = 0,
bewirkt negativen Druck, p = −µ .
Die Wirkung ist unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant. Daher ist
der Energie-Impulstensor kovariant erhalten,
Dm(µ + p) u m ur − p δ m r=0 (7.52)
falls die Felder y(x) ihre Bewegungsgleichungen erfüllen (7.10).
Wir zeigen, daß diese Bewegungsgleichungen überall dort äquivalent zur kovarianten
Erhaltung des Energie-Impulstensors sind, wo die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen
∂my a von maximalem Rang ist. Aus der Lagrangefunktion (7.47) ergibt sich wegen
∂LFlüssigkeit
∂j m
und (7.41) die Eulerableitung der zugehörigen Wirkung
δWFlüssigkeit
δy a
= − √ g µ ′ jn gmn
ρ g = −µ′ um (7.53)
= ∂n(µ ′ um) 1
2 εmnkl ∂ky b ∂ly c ε 0abc . (7.54)
Die Bewegungsgleichung der Flüssigkeit besagt, daß diese Eulerableitung für a = 0, 1, 2, 3
verschwindet. Sie muß auch verschwinden, wenn wir mit ∂ry a multiplizieren. Dann enthält
der Ausdruck einen Faktor
1
2 εmnkl ∂ry a ∂ky b ∂ly c ε 0abc = X mn r = δ m rX n − δ n rX m = −δ m rj n + δ n rj m . (7.55)
Die zweite Gleichung gilt wegen der Antisymmetrie in m und n und weil X mn r verschwindet,
falls r von m und n verschieden ist. Die dritte Gleichung, X m = −j m , ergibt
sich, wenn man mit δ r m kontrahiert. Daher gilt
δWFlüssigkeit
δy a
∂ry a = ∂n(µ ′ um) (δ n rj m −δ m rj n ) =Dn(µ ′ um)−Dm(µ ′ un)δ n rj m , (7.56)
wobei wir noch ausgenutzt haben, daß wir antisymmetrisierte Ableitungen zu kovarianten
Ableitungen ergänzen können. Durch √ g ρ geteilt, folgt mit u 2 = 1 und (Drum)u m = 0
1 δWFlüssigkeit
√
g ρ δya ∂ry a = Dr(µ ′ um) u m − u m Dm(µ ′ ur) = Drµ ′ − u m Dm(µ ′ ur) . (7.57)
Dies ist bis auf den Faktor ρ die linke Seite von (7.52). Verwenden wir nämlich dort
µ + p = ρ µ ′ (7.49) und ∂mj m = √ g Dm(ρ u m ) = 0 (7.42), so lautet (7.52)
Dm(µ ′ ρ u m ur) − Dr(ρ µ ′ − µ) = ρ u m Dm(µ ′ ur) − ρ Drµ ′ = 0 . (7.58)