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254 C Elementare Geometrie
1, 2, 3, die räumlichen Maßstäbe des Beobachters, die von der Weltlinie zu gleichzeitigen,
benachbarten Ereignissen zeigen, und die paarweise orthogonal und normiert sein mögen.
Die vier orthonormalen Basisvektoren definieren längs der Weltlinie ein Vierbein (A.107)
ea m eb n gmn = eaóeb = ηab , a, b ∈ {0, 1, 2, 3} . (C.126)
Auf der Weltlinie des Beobachters ist bei metrikverträglichem Paralleltransport die
Ableitung eines Skalarprodukts (aób) = a m b n gmn nach dem Kurvenparameter gleich
dem Skalarprodukt der gemäß Produktregel kovariant längs der Kurve differenzierten
Vektoren (C.100). Da die Skalarprodukte eaóeb längs der Weltlinie konstant sind, gilt
δea
+ eaóδeb
= 0 . (C.127)
δsóeb
δs
Drückt man die kovariante Ableitung des Vierbeins wieder als Linearkombination des
Vierbeins aus
δea k
δs = ωa c ec k , (C.128)
so besagt (C.127), daß die Koeffizienten ωab antisymmetrisch sind
ωab = ωa c ηbc ωab = −ωba . (C.129)
ω ist eine infinitesimale Lorentztransformation (B.13, E.101).
Die kovariante Ableitung des normierten Tangentialvektors e0 einer zeitartigen Weltlinie
definiert einen Vektor be1, die Beschleunigung, die wir als Betrag b und einen zu
e0 senkrechten, normierten Vektor e1 schreiben. Die kovariante Ableitung des Vektors
e1 kann als Linearkombination von e0, e1 und einem weiteren, normierten Vektor e2 geschrieben
werden, der senkrecht auf e0 und e1 steht. Durch fortlaufendes Differenzieren
erhält man so die Gleichungen (C.128); allerdings verschwinden die Koeffizienten ωa c für
c > a + 1. Daher vereinfacht sich (C.128) zu den Frenet-Serretschen Formeln
δe0
δs = −ω01 e1
δe2
δs = ω12 e1 − ω23 e3
δe1
δs = −ω01 e0 − ω12 e2
δe3
δs = ω23 e2 .
(C.130)
Die Koeffizientenfunktion ω01 ist der Betrag der Beschleunigung, ω12 ist der Betrag
der Änderung der Richtung der Beschleunigung und wirkt sich durch Coriolis-Kräfte und
zusammen mit ω23 durch Präzession aus. Verschwindet ω23, so ist im flachen Raum die
Bahnkurve eben. Verschwindet ω12, so ist im flachen Raum die Bahn räumlich gerade,
verschwindet ω01, so ist die Bahnkurve eine Gerade in der Raumzeit, also geodätisch.
Aus vorgegebenen Koeffizientenfunktionen ω01(s), ω12(s) und ω23(s) und den Anfangsbedingungen
x(0), ea(0) kann die Bahnkurve x(s) eindeutig bestimmt werden. Es ist
ohne weiteres möglich, daß die Weltlinien zweier Zwillinge, die vom gleichen Ereignis
x(0) mit unterschiedlicher Geschwindigkeit dx
ds |s=0 = e0(0) starten, sich später schneiden.
Auch wenn alle Koeffizientenfunktionen ω01(s), ω12(s) und ω23(s) des ersten Zwillings
C.7 Drehungsfreie Bewegung 255
zwischen Start bei s = 0 und Treffen bei s = s1 mit denjenigen des anderen Zwillings zwischen
s = 0 und s = s1 übereinstimmen, kann der zweite Zwilling eine andere Weltlinie
durchlaufen haben, auf der das Treffen zu einer anderen Zeit bei s2 = s1 stattfindet.
Das Vierbein, das durch die Frenet-Serretschen Formeln definiert ist, ist normalerweise
nicht drehungsfrei. Drehungsfrei ist die Bewegung der Basisrichtungen e1, e2 und
e3 eines Beobachters, wenn genügend kurze Lichtwege umkehrbar sind und reflektierte
Lichtstrahlen wieder aus der Richtung einfallen, in die sie ausgesendet worden waren.
Was Drehungsfreiheit besagt, klärt die folgende Rechnung. Wir entwickeln bis zur
zweiten Ordnung die nicht notwendig gerade Weltlinie Γ : s ↦→ x(s) mit Tangentialvektor
e0 m = dxm
ds und das gemäß (C.128) mitgeführte Vierbein ea m (s) um einen Punkt x(0)
und betrachten einen Lichtstrahl, der zur Zeit −s in Richtung ni ausgesendet wird, dann
zurück gestreut und zur Zeit s wieder aus Richtung ni E empfangen wird.
Die ausgesendeten und empfangenen Lichtstrahlen yA(λ) und
yE(λ) lösen die Geodätengleichung. Die Weltlinie des Beobachters
ist eventuell beschleunigt
s
Γ s
v
u
Abbildung C.3: Drehungsfreie
Richtung
de0 m
ds + Γkl m e0 k e0 l = ω0 b eb m . (C.131)
Daher sind die Weltlinien in quadratischer Näherung in s und λ
x m (s) = x m (0) + se0 m + 1
2 s2−Γkl m e0 k e0 l + ω0 b eb m, (C.132)
y m A (λ) = xm (−s) + λu m − 1
2 λ2 Γkl m u k u l , (C.133)
y m E (λ) = xm (s) − λv m − 1
2 λ2 Γkl m v k v l . (C.134)
Dabei haben die Tangentialvektoren u und v an die Weltlinie
der ein- und auslaufenden Lichtstrahlen räumliche Komponenten n i E und n i
u = e0 m (−s) + n i ei m (−s) , v = e0 m (s) − n i E ei m (s) ,
i=3
i=1
n i2
= 1 =
i=3
n
i=1
i E 2 . (C.135)
Die Vierbeine lösen die Differentialgleichung (C.128) und sind in linearer Ordnung
ea m (s) = ea m (0) + s−Γkl m e0 k ea l + ωa b eb m. (C.136)
Die Bedingung, daß sich die Lichtstrahlen in einem Punkt schneiden
yA(λ) = yE(λ ′ ) , (C.137)
sind vier Gleichungen, die λ, λ ′ und die zwei unabhängigen Komponenten von nE als
Funktion von n und s festlegen.
Wertet man diese Gleichungen zunächst in linearer Ordnung in s aus, indem man
Skalarprodukte mit e0 und ej, j = 1, 2, 3, betrachtet, so ergibt sich λ = λ ′ = s und
n i E = ni . Bis zur nächsten Ordnung gilt also
λ = s + s 2 λ2 , λ ′ = s + s 2 λ ′ 2 , n i E = n i + s δn i . (C.138)