papiersparender pdf-Version

308 G Die Noethertheoreme
Sie gilt insbesondere für Materiefelder, die ihren Bewegungsgleichungen genügen, und
für Eichtransformationen, die Eichfelder invariant lassen
ˆ∂L
ˆ∂φl
∂L
= 0 ∧ δξAk = 0 ⇒ δξφi
∂∂mφi
− K m ξ + ∂nB mn = −ξN m Ak
ˆ∂L
. (G.42)
ˆ∂Ak
Die linke Seite ist der Strom, der zur Symmetrie der Materiewirkung unter Transformationen
gehört, die fest vorgegebene Eichfelder Ak, solche Felder nennt man Hintergrundfelder,
unverändert lassen. Dabei kann das Eichfeld Ak irgendeinen festen Wert haben,
der mit δξAk = 0 verträglich ist. Gleichung (G.42) identifiziert diesen Noetherstrom, der
durch das Transformationsverhalten der Felder φi festgelegt ist und Ak nur als Hintergrundfeld
enthält, als Linearkombination der Variationsableitungen der eichinvarianten
Materiewirkung nach dem Eichfeld, wenn die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen
erfüllen und die Eichfelder Werte haben, die Symmetrien δξAk = 0 zulassen.
Die Gleichung δξAk = 0 schränkt die Parameterfunktionen ξ ein, eine Symmetrie
von Ak zu sein, und die Eichfelder Ak, eine Symmetrie zu haben. Zum Beispiel haben
Yang-Mills-Felder mit Transformationsgesetz δξA i k = Dkξ i nur dann Symmetrien, wenn
die Holonomiegruppe, die von den Feldstärken erzeugt wird, ξ i invariant läßt. Denn die
Gleichung Dmξ i = 0 erfordert
0 = [Dm, Dn]ξ i = (Fmnξ) i = Fmn j fkj i ξ k . (G.43)
Noetheridentität der Elektrodynamik
Die Wirkung der Elektrodynamik WMaxwell[A]+WMaterie[A, φ] (5.187) ist invariant unter
infinitesimalen Eichtransformationen (5.84)
δξAk = ∂kξ (G.44)
und Eichtransformationen der Materiefelder, wie zum Beispiel δφ = i ξφ, von denen wir
nur zu wissen brauchen, daß sie so gefunden werden können, daß die Wirkung eichinvariant
ist. Diese Eichtransformation des Vektorpotentials ist (G.27) mit Nk = 0 und
N m k = δm k. Daher erfüllen WMaxwell und WMaterie die Noetheridentität (G.29) und (G.34)
δWMaxwell δWMaterie
∂m = 0 = ∂m . (G.45)
δAm δAm
Dabei ist die erste Gleichung ∂m(∂nF mn ) = 0 eine Identität und gilt für beliebige Felder
An(x). Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung ∂mjm = 0 für den elektro-
(5.193). Sie gilt aufgrund der Eichinvarianz der
magnetischen Strom jm = − δWMaterie
δAm
Wirkung, wenn die restlichen Felder φ ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, identisch in
Ak. Die Stromidentifizierungsgleichung (G.42) zusammen mit Nm Ak = δmk besagt, daß,
falls die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen erfüllen, der Strom, der durch die Variationsableitung
nach dem Eichfeld Am definiert ist, mit dem Strom übereinstimmt, der
zur Invarianz der Materiewirkung unter Eichtransformationen mit konstanten Parametern
gehört.
G.3 Eichsymmetrien und Noetheridentitäten 309
Noetheridentität für Punktteilchen
Die Wirkung von Punktteilchen ist invariant unter infinitesimalen Transformationen
δξxn = ξ dxn
ds , die zu Reparametrisierungen s′ = s − ξ(s) gehören. Diese Transformation
dxn
ist, richtig gelesen, von der Form (G.27) mit Nxn = ds und Nm xn = 0, wobei der Index
m zu der Ableitung nach dem Bahnparameter s gehört und nur einen Wert annimmt.
Die zugehörige Noetheridentität (G.29) lautet
0 = dxn
ds
δW
δxn . (G.46)
(s)
Dies ist eine Identität in s, x n und den Ableitungen von x n , falls alle weiteren Freiheitsgrade,
die ebenfalls unter der Reparametrisierung transformieren, ihre Bewegungsgleichungen
erfüllen.
Für die Wirkung freier Teilchen WTeilchen (4.14) besagt die Noetheridentität
dx n
ds
d
ds
dxn
ds
dx
dsódx
ds
= 0 . (G.47)
Sie ist ohne Einschränkung an xm erfüllt, denn die Änderung eines Einheitsvektors ist
stets auf ihm senkrecht (2.51).
Für die Ankopplung an das elektromagnetische Feld WKopplung (5.230) lautet die Identität
(G.46)
dxn dsq
c Fnm
dxm . (G.48)
ds=0
Sie ist unabhängig davon erfüllt, ob die elektromagnetischen Felder ihren Bewegungsgleichungen
genügen, denn eine Doppelsumme eines symmetrischen Indexpaares mit einem
antisymmetrischen Indexpaar verschwindet (5.17).
Der Viererimpuls P n (4.103) ist proportional zum Tangentialvektor dxn . Daher besagt
ds
die Noetheridentität, daß sich P 2 und damit die Masse (3.52) selbst bei Wechselwirkung
nicht längs der Bahn ändert d
dsP 2 n d = 2P dsPn = 0. Denn fügen wir der Wirkung WTeilchen
einen reparametrisierungsinvarianten Teil WPotential hinzu, so lauten die Bewegungsgleichungen
d
dsPn = Fn und die Kraft Fn = − δWPotential
δxn steht senkrecht auf dem Viererimpuls
dxn δWPotential
ds δxn = 0 . (G.49)
Das Quadrat des Viererimpulses eines Punktteilchens, dessen Wirkung reparametrisierungsinvariant
ist, ist also auch bei Wechselwirkung erhalten. Diese theoretische Schlußfolgerung
stimmt mit den Beobachtungen von Teilchen im elektromagnetischen oder
gravitativen Feld überein, ist aber meßbar falsch bei Teilchenumwandlungen wie zum
Beispiel Kernzerfällen. Teilchenumwandlung kann nicht Auswirkung von Kräften auf
Punktteilchen sein.