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36 2 Zeit und Länge
der zueinander senkrechten Vektoren verschwindet.
Das Längenquadrat v 2 ist das Quadrat der Zeit, die zwischen den Ereignissen t− und
t auf der Weltlinie des Beobachters vergeht, und diese Zeit ist die Lichtlaufzeit und
demnach die Entfernung vom Beobachter zum Ereignis E. Wegen v 2 = −w 2 ist daher
−w 2 das Quadrat der Entfernung von E zum Beobachter.
Senkrecht: Der Vektor wET von einem Ereignis t auf der Weltlinie eines gleichförmig
bewegten Beobachter zu einem für ihn gleichzeitigen Ereignis E steht senkrecht im Sinne
des Skalarproduktes (2.42) auf der Weltlinie des Beobachters. Das negative Längenquadrat
−wET 2 ist das Quadrat der Entfernung zwischen E und dem Beobachter.
Die Hyperbel H durch t mit Ursprung t− ist dadurch definiert, daß man zu ihren
Punkten von t− durch gleichlange Verschiebungen u(s) gelangt,
u(s) = √ 1 + s 2 v + s w , u(s) 2 = v 2 , (2.50)
wobei s die reellen Zahlen durchläuft. Insbesondere gehört der Punkt t auf der Hyperbel
zu s = 0. Da u2 nicht von s abhängt, sind alle Punkte auf H gleich weit von t− entfernt.
Jeder Vektor von t− zu einem Punkt A auf der Senkrechten B⊥ ist von der Form
x(s) = v + sw, wobei s eine reelle Zahl ist. Er ist wegen vów = 0 gleich lang wie der
Vektor −v + sw von t+ zu A.
Da √ 1 + s2 für s = 0 größer als 1 ist, liegen außer t alle Punkte von H auf der von t−
abgewandten Seite von B⊥, denn es ist u(s) = x(s)+a(s)v mit positivem a(s). Da zudem
B⊥ und H den Punkt t durchlaufen, berühren sie sich dort und B⊥ ist die Tangente an
die Hyperbel H im Punkt t. Sie steht senkrecht auf dem Ortsvektor von t− nach t.
Dies folgt auch, wenn man u(s) 2 nach s differenziert. Für den Tangentialvektor du
ds
erhält man
u(s)óu(s) = konstant ⇒ du
= 0 . (2.51)
dsóu
Perspektiven
Peilt man waagerecht von einem Turm auf Meereshöhe
zu einem zweiten, baugleichen Turm, der
ebenfalls auf Meereshöhe steht, dann erscheint
wechselseitig wegen der Erdkrümmung jeweils der
andere Turm weniger hoch. Denn Höhe ist eine
perspektivische Abmessung. Sie hängt davon ab,
welche Richtung waagerecht ist, und bei den beiden
Türmen sind diese Richtungen nicht gleich.
Perspektivische Verkürzung ist physikalisch
wichtig. Weil man die Höhe einer Leiter durch
Drehen verändern kann, kann eine gedrehte Leiter
durch eine niedrige Tür passen, auch wenn die
Länge der Leiter größer ist als die Höhe der Tür,
und obwohl Drehungen weder die Maße der Tür
noch der Leiter ändern.
B
M0
O
Mα
Abbildung 2.16: Gedrehte Maßstäbe
E
2.7 Skalarprodukt und Längenquadrat 37
Die Abbildung 2.16 stellt die perspektivische Höhe zweier zueinander gedrehter Maßstäbe
M0 und Mα in der Euklidischen Geometrie dar. Ein Kreis markiert Punkte gleichen
Abstandes vom Mittelpunkt; die Tangente an den Kreis steht senkrecht auf dem
Ortsvektor vom Mittelpunkt zum Kreis.
Die beiden Maßstäbe schneiden sich im Punkt O. Für einen Beobachter, der Höhe mit
M0 mißt, sind Punkte gleich hoch wie B, wenn sie auf der Geraden durch B liegen,
die einen rechten Winkel mit dem Maßstab bildet. Insbesondere ist für ihn der Punkt
E gleich hoch wie der Punkt B. Die mit dem gedrehten Maßstab Mα gemessene Länge
zwischen O und E ist größer als die Länge zwischen den dazu gleich hohen Punkten O
und B, denn der Kreis durch B schneidet den gedrehten Maßstab zwischen O und E.
Bezieht ein Beobachter Höhe auf die Richtung von Mα, so gilt ebenfalls, daß zwei Punkte
auf dem dazu gedrehten Maßstab M0 weiter voneinander entfernt sind als zwei dazu
gleichhohe Punkte auf dem Maßstab Mα. Die perspektivische Höhenverringerung ist
wechselseitig.
Wenn man in Abbildung 2.16 den Kreis durch eine Hyperbel ersetzt, so erhält man die
B0 Bv
geometrischen Verhältnisse der Raumzeit. Im
Raumzeitdiagramm 2.17 markiert die Hyperbel t
B
B
E
E
O
Abbildung 2.17: Zeitdehnung
2− x2 = τ2 für ein festes, positives τ2 und mit t > 0
Ereignisse gleichen zeitlichen Abstandes zum Ursprung
(2.35). Gleichförmig bewegte Uhren, die
gleich gehen und auf geraden Weltlinien von Beobachtern
B0 und Bv den Ursprung t = 0, x = 0
durchlaufen, zeigen bei Durchlaufen des Ereignisses,
in dem ihre Weltlinie die Hyperbel schneidet,
eine um τ spätere Zeit an.
Die Tangenten im Punkt B und B ′ stehen senkrecht
im Sinne des Skalarproduktes auf der Weltlinie
von O zu B beziehungsweise von O zu B ′ (2.51).
Sie bestehen daher aus Ereignissen, die für den Beobachter
B0 beziehungsweise Bv gleichzeitig stattfinden. Sie schneiden die Weltlinie des
anderen Beobachters, bevor auf dessen Uhr die Zeit τ vergeht.
Vergeht auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen die Zeit τ, so vergeht auf jeder bewegten
Uhr zwischen den dazu gleichzeitigen Ereignissen die kürzere Zeit (2.35)
τEO = τE ′ O = √ 1 − v 2 τ , (2.52)
so wie zwei Punkten auf einer senkrechten Leiter einen kleineren Abstand haben als die
gleichhohen Punkten auf einer geneigten Leiter. Die perspektivischen Verhältnisse in der
Raumzeit sind, wie in der Euklidischen Geometrie, wechselseitig.
Die verkürzte Zusammenfassung ” bewegte Uhren gehen langsamer“ unterschlägt die
umständliche Angabe von Strecken OE und OB beziehungsweise OE ′ und OB ′ , deren
Dauer zu vergleichen ist, und ist Anlaß von Mißverständnissen. Denn ” langsamer gehen“
ist eine Ordnungsrelation und es kann nicht die Uhr B0 langsamer als die Uhr Bv und
ebenfalls die Uhr Bv langsamer als die Uhr B0 gehen. Tatsächlich gehen beide Uhren
gleich, dies kann ein Schiedsrichter wie in Abbildung 2.2 überprüfen.