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66 4 Relativistische Teilchen
Analog definieren wir die Änderung der Wirkung W[Tαx] als Ableitung nach dem Transformationsparameter
α. Nach Definition der Variationsableitung ändert sich W um
δW =
dt∂αTαx m |α=0δW
+ Randterme . (4.44)
δxm Die Transformation Tα heißt Symmetrie der Wirkung W[x], wenn sich die Wirkung
nur um Randterme ändert, das heißt genauer [23], wenn sich der Integrand in (4.44) für
alle Bahnen x m als Ableitung einer Funktion Q der Jet-Variablen schreiben läßt
m δW d
δx + Q = 0 . (4.45)
δxm dt
Die physikalisch durchlaufenen Bahnen erfüllen die Bewegungsgleichungen δW
δx m = 0,
auf physikalischen Bahnen ist daher Q zeitunabhängig. Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie
der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße Q !
Die Lagrangefunktion L einer lokalen Wirkung ändert sich bei infinitesimalen Symmetrietransformationen
wegen (4.27) und (4.32) um eine Zeitableitung
δL = d
K , (4.46)
dt
0 = δx m ˆ ∂L d d m ∂L d d
+ Q = δL −
ˆ∂x m dt dtδx
∂ ˙x m+ Q = δL − K , (4.47)
dt dt
m ∂L
mit K = δx ∂ ˙x m − Q. Die Erhaltungsgröße Q, die Noetherladung, ist also
m ∂L
Q = δx − K . (4.48)
∂ ˙x m
Bei einer lokalen Wirkung kann man für jede gegebene infinitesimale Transformation δx m
nach Ausrechnen von δL leicht entscheiden, ob sie zu einer kontinuierlichen Symmetrie
gehört. Die Funktion δL der Jet-Variablen läßt sich genau dann als Ableitung d
dt K
schreiben, wenn die Eulerableitung von δL verschwindet (4.38).
Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine kontinuierliche Symmetrie der Wirkung!
Denn eine Funktion Q(t, x, ˙x) der Jet-Variablen ist eine Erhaltungsgröße, wenn
ihre Zeitableitung aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet, also wenn sich ihre
Zeitableitung als Vielfaches der Funktionalableitung der Wirkung und eventuell von den
Ableitungen der Funktionalableitungen 5 schreiben läßt
d
dt Q(t, x, ˙x) + Rm δW
0
δxm + Rm d δW
1 = 0 . (4.49)
dt δxm Die Größen Rm 0 und Rm 1 hängen auf nicht weiter festgelegte Art von den Jet-Variablen
ab. Fassen wir die Terme mit der Produktregel zusammen, so ist die Definitionsgleichung
einer Erhaltungsgröße die Definition einer infinitesimale Symmetrie (4.45)
d
dtQ + R m 1
δW
δx m+R m 0
d
−
dt Rm 1δW
= 0 . (4.50)
δxm 5 Falls höhere Ableitungen von δW
δx m auftreten, wälzt man sie wie in Anhang G.1 ab.
4.4 Symmetrien und Erhaltungsgrößen 67
Die Wirkung ist also unter der infinitesimalen Transformation
δx m = R m 0 − d
dt Rm 1
(4.51)
bis auf Randterme invariant. Die Erhaltungsgröße Q stimmt auf physikalischen Bahnen
mit Q überein
Q = Q(t, x, ˙x) + R m δW
1 . (4.52)
δxm Der Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen (4.48) ist von Emmy
Noether 1918 [24] formuliert worden.
Noethertheorem: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße.
Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine Symmetrie der Wirkung.
Am Noethertheorem ist nichts zu beweisen, man muß nur erkennen, daß die Definition
(4.45) einer Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße definiert und daß umgekehrt
die Definition einer Erhaltungsgröße eine Symmetrie definiert. Das Theorem ist deshalb
wichtig, weil häufig Symmetrien der Wirkung offensichtlich sind und als geometrische
Eigenschaft einfach durch Ansehen gefunden werden können.
Erhaltungsgrößen sind ausschlaggebend für die Frage, ob die Bewegungsgleichungen
integrabel sind, das heißt, ob sich die Lösungen durch Rechenoperationen wie Integrieren
gegebener Funktionen und Auflösen implizit gegebener Funktionen angeben lassen.
Betreffen die Bewegungsgleichungen N Freiheitsgrade, so sind die Gleichungen genau
dann integrabel, wenn es N unabhängige Erhaltungsgrößen Qi, i = 1, 2, . . ., N gibt, deren
zugehörige infinitesimale Transformationen δi, hintereinander ausgeführt, wie Verschiebungen
in ihrer Reihenfolge vertauscht werden dürfen, δiδj = δjδi. 6 Ändert man
integrable Bewegungsgleichungen durch Zusatzterme ab, so führen solche Störungen integrabler
Bewegung, selbst wenn sie klein sind, zu chaotischen Bahnen, die im Raum
aller Bahnen zwar kleines Maß haben, aber dicht liegen. Die Herleitung und Diskussion
dieser wichtigen Erkenntnisse füllt Bücher [25, 26, 27, 28], auf die hier nur verwiesen sei.
Über die Tatsache hinaus, daß Symmetrien der Wirkung mit Erhaltungsgrößen zusammenhängen,
sind Symmetrien wichtig, weil man aus einer Lösung der Bewegungsgleichungen
durch Symmetrietransformationen weitere Lösungen gewinnen kann. Zum
Beispiel erhält man in der Allgemeinen Relativitätstheorie das Gravitationsfeld einer
gleichförmig bewegten Masse aus demjenigen der ruhenden Masse durch eine Lorentztransformation.
Transformationen, die Lösungen von Bewegungsgleichungen auf Lösungen abbilden,
sind nicht unbedingt Symmetrien der Wirkung. Zum Beispiel werden die Lösungen
x(t) = − 1
2gt2 + v0t + x0 der Bewegungsgleichung ¨x = −g eines senkrecht fallenden
Teilchens durch Tαx(t) = e2αx(e−αt) auf Lösungen abgebildet, aber die infinitesimale
Transformation δx = 2x − t ˙x läßt die Lagrangefunktion L = 1
2m ˙x2 − mgx nicht
invariant, δL = d
d
(−tL ) + 3L = K .
dt dt
Die kinetische Energie Ekin = 1
2m ˙ x 2 eines nichtrelativistischen Teilchens ist invariant
unter Drehungen und Verschiebungen. Sie hängt nicht davon ab, wo und in welche Rich-
6 Solche Qi heißen ” in Involution“. Ihre gegenseitigen Poisson-Klammern verschwinden, {Qi, Qj} = 0.