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234 C Elementare Geometrie
Da Parallelverschiebung hintereinander ausgeführt werden kann, so liegt sie fest, wenn
für jeden Vektor v an jedem Ort mit Koordinaten x m der Vektor Pξv(x) am benachbarten
Ort mit Koordinaten x m +ξ m definiert ist, den man durch Parallelverschiebung längs des
infinitesimalen Kurvenstücks von x zu x + ξ erhält. 1 Verschiebt man einen Basisvektor
ea |x und entwickelt man in der Basis eb |x+ξ , so ist der parallel verschobene Basisvektor
von der Form
. (C.3)
Pξea |x =ea − ξ m ωm a b eb|x+ξ
Für ξ = 0 bleibt ea unverändert, jeder Vektor ist sich selbst parallel. Der nächste Term
ξ m ωm a b ist linear in ξ, denn wir vernachlässigen, weil ξ infinitesimal ist, Terme der
Ordnung ξ 2 .
Die Felder ωma b (x) heißen Zusammenhang oder Konnektion oder auch Eichfelder oder
Yang-Mills-Felder.
Verschiebt man einen beliebigen Vektor v|x = v a (x)ea |x vom Punkt x parallel zu x+ξ,
so erhält man, weil Parallelverschiebung linear ist,
Pξv a (x)ea |x=v a (x)ea − ξ m ωma b eb|x+ξ
=v a − ξ m ωm b a v bea |x+ξ
. (C.4)
Parallelverschiebung längs einer endlichen Kurve Γ : s ↦→ x(s) vom Punkt A = x(s) zu
B = x(s) ergibt sich durch Hintereinanderausführen infinitesimaler Verschiebungen aus
der Lösung des Differentialgleichungssystems
dv a
ds = −Tb a v b , mit Tb a (s) = dxm
ds ωm b a (x(s)) , (C.5)
als Abbildung des Anfangswertes v = va (s)ea |A auf PΓv = va (s)ea |B . Diese Abbildung
ist linear und von der Parametrisierung der Kurve unabhängig.
Paralleltransport ist invertierbar: verschieben wir längs der rückwärts durchlaufenen
Kurve, die wir mit Γ−1 bezeichnen, von B nach A, so erhalten wir den ursprünglichen
Vektor
PΓ−1PΓ v = v . (C.6)
Die linearen Abbildungen Λ : v ↦→ Λ(v) von Vektoren in die reellen oder komplexen
Zahlen bilden den dualen Vektorraum. Ihr Paralleltransport ist wie ihr kontragredientes
Transformationsgesetz (B.35) auf natürliche Art durch die Forderung
PΓΛ(PΓv) = Λ(v) (C.7)
definiert, daß der parallel verschobene duale Vektor PΓΛ, angewendet auf den parallel
verschobenen Vektor PΓv, dasselbe ergibt wie der ursprüngliche duale Vektor Λ, angewendet
auf den ursprünglichen Vektor v. Insbesondere gilt für die Parallelverschiebung
der dualen Basis e a , e a (eb) = δ a b = Pξe aeb − ξ m ωm b c ec=Pξe a (eb) − ξ m ωm b c Pξe a (ec),
Pξe a |x =e a + ξ m ωmb a e b|x+ξ
. (C.8)
1 Streng genommen bezeichnet x + ξ einen benachbarten Punkt auf einer Kurve durch x mit Tangen-
tialvektor ξ.
C.2 Torsion und Krümmung 235
Tensoren der Stufe (u, o) sind definitionsgemäß Abbildungen, die u Vektoren und o
duale Vektoren auf Zahlen abbilden und linear in jedem ihrer u + o Argumente sind.
Auf gleiche Weise wie parallel verschobene duale Vektoren ist der parallel verschobene
Tensor PΓT durch die Forderung
PΓT(PΓv, . . ., PΓΛ, . . .) = T(v, . . ., Λ, . . .) (C.9)
definiert, daß er auf parallel verschobene Argumente angewendet dasselbe ergibt, wie
der ursprüngliche Tensor angewendet auf die ursprünglichen Argumente. Setzt man
als Argumente die Basisvektoren ea, . . .,e b , . . . ein und verwendet man die Definition
T(ea, . . .,e b , . . .)|x = Ta... b... (x) der Komponentenfunktionen und (C.3) und (C.8), so gilt
PξTa... b... (x + ξ) = Ta... b... (x) + ξ m ωm a c Tc... b... (x) + · · · − ξ m ωm c b Ta... c... (x) − . . . . (C.10)
Die u+o Terme mit der Konnektion ωm a b arbeiten in dieser Gleichung das Indexbild der
Komponenten des Tensors T nach der Produktregel der Differentation ab: es entstehen
die gleichen u + o Terme, die man erhalten hätte, wenn die Tensorkomponenten als ein
Produkt von o Vektorkomponenten und u Komponenten dualer Vektoren gegeben wären
und wenn man die Komponenten der parallel verschobenen Vektoren ausmultipliziert
und dabei Terme der Ordnung (ξ) 2 vernachlässigt hätte.
C.2 Torsion und Krümmung
Hat die Parallelverschiebung keine speziellen Eigenschaften, so hat der Raum Torsion
T uv
Pvu
v
u
Puv
Abbildung C.1: Torsion
und Krümmung. Torsion zeigt sich daran, daß sich
infinitesimale Parallelogramme nicht schließen. Es
seien u = u a ea und v = v a ea zwei Vektoren am Ort
x und ea m (x) bezeichne die Raumzeitkomponenten
der Basis ea. Folgt man dem Vektor u und verschiebt
man dabei den Vektor v längs u parallel, so
erhält man, wenn man Terme höherer Ordnung in
u vernachlässigt, am Ort x + u mit Koordinaten
x m + u a ea m (x) den parallelverschobenen Vektor
(Puv) = v a ea(x+u)−u c ec m ωm a b v a eb(x+u) (C.3).
Folgt man von x+u diesem parallel verschobenen
Vektor, so gelangt man zum Punkt x + u + Puv
mit Koordinaten
x m + u a ea m (x) + v a ea m (x + u) − u a v b ea n ωn a c ec m (x + u + Puv) =
x m + u a ea m (x) + v a ea m (x) + v a u b eb n ∂nea m (x) − u a v b ea n ωn b c ec m (x) ,
(C.11)
wenn man entwickelt und Terme vernachlässigt, die quadratisch in u oder v sind.
Vertauscht man die Reihenfolge des Vorgehens und folgt zunächst v und dann Pvu, so
gelangt man zum Punkt x + v + Pvu, der sich von x + u + Puv in erster Ordnung in u
und v durch die Koordinatendifferenz T(u, v) m = u a v b Tab c ec m unterscheidet
Tab c = ea m eb n (∂men c − ∂nem c ) + ωa b c − ωb a c . (C.12)