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32 2 Zeit und Länge
Folglich vergeht auf U zwischen den Ereignissen (0, 0, 0, 0) und (t, x, y, z) die Zeit
τ =t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = √ 1 − v 2 t . (2.35)
Insbesondere würden lichtschnelle Uhren, wenn es sie gäbe, stehen. Dazu paßt, daß die
elektromagnetische Welle eines Lichtpulses auf seiner Weltlinie nicht schwingt, sondern
konstante Phase hat (7.96), und daß lichtschnelle Teilchen nicht zerfallen können (3.57).
Die Zeit zwischen zwei Ereignissen hängt nicht von Einzelheiten der Uhr ab, mit der
sie gemessen wird. Die Zeit ist ein Maß für Entfernung, also eine geometrische Struktur,
in der Raumzeit. Zeitlich gleich weit vom Ursprung entfernte Ereignisse findet man nicht
wie in der nichtrelativistischen Physik in einer Ebene mit konstantem t und auch nicht
wie in der Euklidischen Geometrie auf einer Kugelschale mit konstantem t 2 +x 2 +y 2 +z 2 ,
sondern auf einem Hyperboloid mit konstantem t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = τ 2 . Das Quadrat
der zeitlichen Entfernung zweier Ereignisse unterliegt nicht dem Satz des Pythagoras,
sondern dem Satz des Minkowski.
Die Uhrzeit hängt nicht davon ab, welcher Beobachter Koordinaten für das Ereignis
ermittelt, in dem die Uhr U die Zeit τ anzeigt. Wenn ein anderer Beobachter den
Ursprung durchläuft und die Zeiten t ′ + und t ′ − und die Winkel θ ′ und ϕ ′ mißt und in
Raumzeitkoordinaten (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) umrechnet, so muß τ 2 = t+t− und τ 2 = t ′ + t′ − gelten
2.6 Dopplereffekt
t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = t ′ 2 − x ′ 2 − y ′2 − z ′ 2 . (2.36)
Wenn sich eine Uhr U mit Geschwindigkeit v in Richtung e mit einem Winkel θ zur
Sichtlinie bewegt, dann vergrößert sich während eines kurzen Augenblicks dt ihr Abstand
zum Beobachter B, dessen Koordinaten t, r und θ wir verwenden, um dr = v cosθ dt.
Damit vergrößert sich die Laufzeit des Lichtes zu ihm, und Lichtpulse l und l von zwei
Ereignissen auf der Uhr, die um dt zeitlich versetzt starten, erreichen den Beobachter
(im Maßsystem c = 1) mit einer Zeitdifferenz von τB = dt + v cosθ dt.
Auf der bewegten Uhr U vergeht zwischen dem Aussenden der beiden Lichtpulse die
Zeit τU = √ 1 − v 2 dt (2.35). Der Beobachter B sieht folglich auf der Uhr U die Zeit
√
1 − v2 τU =
1 + v cosθ τB
(2.37)
ablaufen, während auf seiner eigenen, gleichen Uhr die Zeit τB vergeht. Gleichung (2.11),
τB = κτU, ist der Spezialfall, in dem sich die Uhr in Sichtlinie mit cosθ = 1 entfernt. 4
Schwingt in dieser Zeit ein mit der Uhr mitgeführter Sender n-mal mit einer Frequenz
4 In der Abbildung 2.14 liegen die Weltlinien des Beobachter B und der Uhr U einfachheitshalber in
der Zeichenebene. Wir untersuchen aber den allgemeineren Fall, daß die Weltlinie des Beobachters B
parallel zu dieser Ebene verläuft und die Weltlinie der Uhr nicht schneidet.
τB
B
l
l
τU
U
Abbildung 2.14: Dopplereffekt
2.6 Dopplereffekt 33
νU = n/τU, so sieht der Beobachter diese n Schwingungen,
während auf seiner Uhr die Zeit τB vergeht. Er
beobachtet die Frequenz νB = n/τB,
√
1 − v2 νB =
1 + v cosθ νU . (2.38)
Ist v cos θ > √ 1 − v 2 − 1, so erscheint die Uhr langsamer
und die Frequenz des Lichtes der Uhr ist zu geringeren
Werten in den roten Bereich verschoben.
Bewegt sich die Uhr mit v cos θ < √ 1 − v 2 − 1 auf
den Beobachter zu, so erscheint sie schneller und ihr
Licht ist blauverschoben. Diese Änderung der wahrgenommenen
Frequenz durch Bewegung der Quelle gegenüber
dem Empfänger ist der Dopplereffekt. Er wird
zur Geschwindigkeitsmessung alltäglich verwendet.
Bei Bewegung quer zur Sichtlinie mit cos θ = 0 zeigt der transversale Dopplereffekt,
τU = √ 1 − v 2 τB, unmittelbar die Verlangsamung bewegter Uhren, denn die Länge der
Laufstrecke zum Beobachter verändert sich gerade nicht.
Dopplerverschiebung ist nur bei Bewegung in Sichtlinie wechselseitig gleich. Sendet
B zwei um dt = ˆτB versetzte Lichtpulse zur Uhr U, so erreicht der zweite die Uhr um
dt ′ = dt + v cosθ dt ′ , also um dt ′ = ˆτB/(1 − v cosθ), später, da sich die Laufstrecke um
v cosθ dt ′ verlängert hat. Dabei vergeht auf der Uhr U die Zeit ˆτU = √ 1 − v 2 dt ′ . Die
Uhr U sieht also von B Frequenzen
ˆνU =
1 − v cosθ
√ 1 − v 2 ˆνB . (2.39)
Dies stimmt mit ˆνU = √ 1 − v 2 /(1 + v cosθ ′ ) ˆνB (2.38) überein, wobei θ ′ den durch Aberration
(3.21) geänderten Winkel zur Sichtlinie mit der Richtung bezeichnet, in die U
den Beobachter B sich entfernen sieht.
Scheinbare Überlichtgeschwindigkeit
Aus dem Quasar 3c273 strömt Gas, dessen Bewegung quer zur Sichtlinie zu einer auf
der Erde meßbaren Winkelgeschwindigkeit führt [14, Kapitel 11]. Multipliziert man die
beobachtete Winkelgeschwindigkeit mit der bekannten Entfernung, so erhält man als
Geschwindigkeit quer zur Sichtlinie die siebenfache Lichtgeschwindigkeit. Der Quasar
scheint also Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit zu emittieren.
Diese Schlußfolgerung ist falsch, denn das Produkt von Abstand und beobachteter
Winkelgeschwindigkeit ist nicht die Geschwindigkeit quer zur Sichtlinie.
Die Uhr U in Abbildung 2.14 bewegt sich in der Zeit dt um v sin θ dt = r dθ quer zur
Sichtlinie, wobei r ihren augenblicklichen Abstand bezeichnet. Die Lichtpulse l und l
mit der Winkeldifferenz dθ treffen beim Beobachter mit Zeitdifferenz τB = dt+v cos θ dt