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52 3 Transformationen
Masse
Die Masse m verknüpft die Komponenten des Viererimpulses eines freien Teilchens.
Unabhängig von der Geschwindigkeit gilt wegen (3.45)
p 2 = (p 0 ) 2 − p 2 = m 2 c 2 , E = c p 0 =m 2 c 4 + p 2 c 2 . (3.52)
Dies ist die Gleichung für eine Schale eines Hyperboloids: die Viererimpulse eines freien
Teilchens liegen auf der Massenschale.
Die Beziehung (3.52) von Energie und Impuls gilt auch für lichtschnelle Teilchen, zum
Beispiel für Photonen. Sie sind masselos. Ihr Viererimpuls p ist lichtartig
p 2 = (p 0 ) 2 − p 2 = 0 , p 0 = |p| > 0 . (3.53)
Photonen mit Viererimpuls p gehören als Quanten zu ebenen elektromagnetischen Wellen
e −ikx mit Viererwellenvektor k = (| k|, k). Dabei ist der Impuls p = k ein Vielfaches
des Wellenvektors, die Konstante = 1,055ó10 −34 Js [1] ist das von Planck eingeführte
Wirkungsquantum. Die Energie E = ω = c | k| der Photonen ist ein Vielfaches der
Frequenz ν = ω/(2π) der elektromagnetischen Welle. Diese Beziehung liegt Plancks Herleitung
der thermischen Strahlungsdichte und Einsteins Deutung des photoelektrischen
Effektes zugrunde.
Gemäß (3.47) haben ruhende Teilchen die Energie
ERuhe = m c 2 . (3.54)
Dies ist wohl die berühmteste Gleichung der Physik. Auf ihr beruht die Erkenntnis,
daß bei Umwandlung von Atomkernen durch Spaltung oder Verschmelzung Energien
freigesetzt werden können, denn die Gesamtmasse der Kerne ist meßbar verschieden
von der Summe der Einzelmassen. Der Massenunterschied beruht auf Bindungsenergie,
die militärisch oder friedlich, zerstörerisch oder nutzbringend verwendet werden kann.
Gleichung (3.47) enthält auch die Aussage, daß es unendlich viel Energie kosten würde,
ein massives Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Massive Teilchen sind immer
langsamer als Licht.
Die Masse m ist geschwindigkeitsunabhängig. Die mit dem geschwindigkeitsabhängigen
Faktor γ = 1/1 − v 2 /c 2 multiplizierte Größe γ m Masse zu nennen, würde diesen
Begriff vergeuden, denn für E = γ m c 2 haben wir schon den Namen Energie. Als Masse
bezeichnen wir die Größe, die in veralteten Darstellungen umständlich Ruhemasse heißt.
Zudem verleitet die Bezeichnung Masse für γ m dazu, sie in Formeln der Newtonschen
Physik, die sich im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten aus relativistischer Physik
ergeben, einzusetzen und zu glauben, so Gleichungen zu erhalten, die für alle Geschwindigkeiten
gelten. Auch wenn dies im Einzelfall beim Impuls p = γ mv zutrifft, so ergibt
sich fast immer Unsinn: die kinetische Energie ist nicht γ mv 2 /2.
Ein Teilchen wird nicht mit zunehmender Geschwindigkeit schwerer: Gewicht hängt
von der Beschleunigung im Vergleich zum freien Fall ab. Ein schnell bewegtes Teilchen
bewirkt nicht die Gravitation einer um einen Faktor γ vergrößerten Masse. Es wird
3.4 Energie und Impuls 53
nicht durch seine Geschwindigkeit zu einem Schwarzen Loch. Wenn es nur des Faktors γ
bedürfte, hätte Einstein zehn Minuten statt zehn Jahre gebraucht, in die relativistische
Formulierung von Mechanik und Elektrodynamik die Gravitation einzubeziehen.
Kraft ist nicht Masse mal Beschleunigung. Die Bewegungsgleichung relativistischer,
geladener Teilchen (5.2) besagt, wie wir in Abschnitt 5.3 zeigen, daß der Gesamtimpuls
der wechselwirkenden Teilchen und Felder erhalten bleibt,
F = dp
. (3.55)
dt
Die Kraft F ist der Impuls dp , der pro Zeit dt auf das Teilchen übergeht.
Die Beschleunigung zeigt normalerweise nicht in Richtung der Kraft,
dv
dt
∂v
=
∂pi i
dp i
dt
3.50
=
F
√
m2 + p 2 − (pó F) p
√
m2 + p 2
3 =
1
√ m 2 + p 2 ( F − (vó F)v ) , (3.56)
wobei wir einfachheitshalber im Maßsystem c = 1 rechnen.
Trägheit schneller Teilchen ist richtungsabhängig. Wirkt die Kraft quer zu v, ist die Beschleunigung
dv⊥/dt = √ 1 − v 2 F⊥/m; in Richtung der Geschwindigkeit ist das Teilchen
um den Faktor 1/(1 − v 2 ) träger. Auch masselose Teilchen sind träge, dv⊥/dt = F⊥/|p|,
in Bewegungsrichtung sogar unendlich träge, dv/dt = 0.
Bei der Bewegung mechanischer Anordnungen sind, lange bevor relativistische Auswirkungen
meßbar werden, Korrekturen wichtig, die die endliche Schallgeschwindigkeit
in den Körpern, die ja nicht ideal starr sind, berücksichtigen. Bei hohen Relativgeschwindigkeiten
werden die Kräfte auf ein Teilchen durch Stöße mit anderen Teilchen bewirkt,
die durch Energie- und Impulserhaltung eingeschränkt sind, und durch Wechselwirkung
mit Feldern, wie dem elektromagnetischen Feld oder dem gravitativen Feld, der Metrik.
Zerfall in zwei Teilchen
Zerfällt ein ruhendes Teilchen der Masse M in zwei Teilchen mit Massen m1 und m2,
so sind die Energien der Zerfallsprodukte durch die beteiligten Massen festgelegt. Wegen
Impulserhaltung ist der Impuls p des ersten Zerfallsproduktes dem Impuls des
zweiten Teilchens entgegengesetzt gleich. Ihre Energien sind E1 = √ m1 2 + p 2 und
E2 = √ m2 2 + p 2 , denn Energie und Impuls liegen auf der Massenschale (3.52). Die
Energieerhaltung besagt, daß die Summe dieser Energien mit der Energie M des ruhenden,
zerfallenden Teilchens übereinstimmt
M =m1 2 + p 2 +m2 2 + p 2 > m1 + m2 . (3.57)
Insbesondere ist die Masse M des zerfallenden Teilchens größer als die Summe der Massen
der Zerfallsprodukte. Dies ist, wie beim Zwillingsparadoxon, der geometrische Sachverhalt,
daß die Summe zweier zeitartiger Vierervektoren p1 + p2 länger als die Summe der
Längen der einzelnen Summanden ist.