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242 C Elementare Geometrie
Bianchi-Identitäten
So wie jedes Gradientenfeld Λm = ∂mΛ die Gleichung ∂mΛn −∂nΛm = 0 identisch erfüllt,
so genügen die Torsion und die Krümmung den Bianchi-Identitäten 3 .
Schreiben wir die Torsion (C.14) und Krümmung (C.23) als äußere Ableitung der
Vielbeinform und der Zusammenhangsform,
e c = dx m em c , ωb c = dx m ωm b c , (C.55)
T c = de c + ωb c e b = e a e b1
2 Tab c , Ra b = dωa b − ωa c ωc b = e c e d1
2 Rcd a b , (C.56)
und differenzieren wir erneut, so erhalten wir wegen d 2 = 0 (A.96) und der Produktregel
(A.95) einerseits
dT d = (dωb d )e b − ωb d de b = (Rb d + ωb c ωc d )e b − ωb d (T b − ωc b e c ) = Rb d e b − ωb d T b (C.57)
und andererseits
dT d = d(e a e b1
2 Tab d ) = 1
2 ((dea )e b Tab d − e a (de b )Tab d + e a e b e c ec m ∂mTab d ) . (C.58)
Ersetzen wir hier dea durch T a − ωc aec und bringen wir alle Terme auf eine Seite, so
kombinieren sich die partielle Ableitung und die ωT-Terme zur kovarianten Ableitung
DcTab d und wir erhalten
1
2 eae b e c (DaTbc d + Tab e Tec d − Rab c d ) = 0 . (C.59)
Der in a, b, c total antisymmetrische Teil der Klammer verschwindet also. Da Tab d und
Rab c d in a und b antisymmetrisch sind, ist er durch die zyklische Summe gegeben, die
wir durch einen Kreis im Summenzeichen andeuten, ○ abc Xabc = Xabc + Xbca + Xcab ,
○
abc
Dies ist die erste Bianchi-Identität. Ebenso folgt aus
(DaTbc d + Tab e Tec d − Rab c d ) = 0 . (C.60)
dRd e = −(dωd c )ωc e + ωd c dωc e = 1
2 ((dea )e b Rab d e − e a (de b )Rab d e + e a e b e c ec m ∂mRab d e )
1
2 ea e b e c (DaRbc d e + Tab f Rfc d e ) = 0 (C.61)
die zweite Bianchi-Identität
○
abc
(DaRbc d e + Tab f Rfc d e ) = 0 . (C.62)
Ihr entsprechen die homogenen Maxwellgleichungen (5.10), also die Quellenfreiheit des
Magnetfeldes und das Induktionsgesetz (5.3). Dennoch hat die zweite Bianchi-Identität
nicht die gleichen physikalischen Auswirkungen, denn in der Gravitation gibt es keine
Entsprechung zu leitenden Drähten in der Elektrodynamik, die die Bewegung von
Ladungsträgern, deren Trägheit man vernachlässigen kann, auf den Draht einer Induktionsspule
begrenzen.
3 gesprochen Bianki
C.4 Basiswechsel
C.4 Basiswechsel 243
In unseren Formeln für die kovariante Ableitung und für Torsion und Krümmung haben
wir keine einschränkenden Annahmen über die an jedem Punkt verwendete Basis ea von
Vektoren und die dazu duale Basis eb gemacht. Sie gelten daher für jede Basis. Wechseln
wir die Basis, solch einen Wechsel ea ↦→ e ′ a der Basis an jedem Ort nennt man eine
Eichtransformation, so ändern sich unter solch einer Eichtransformation
e ′ a |x = Ma b (x)eb |x , e ′ a |x = M −1 b a (x)e b |x (C.63)
die Komponenten Ta... b... = T(ea, . . ., e b . . .) von Tensoren linear
T ′ a... b... = T(e ′ a , . . ., e′ b . . .) = T(Ma c ec, . . ., M −1 d b e d . . .) = Ma c . . .M −1 d b . . .Tc... d... .
(C.64)
Insbesondere hängen die Komponenten der Torsion und der Krümmung bezüglich einer
Basis ea = ea m ∂m und der Koordinatenbasis, den Tangentialvektoren ∂m längs der
Koordinatenlinien, durch
Tab c = ea k eb l em c Tkl m , Rabc d = ea k eb l ec m en d Rklm n
zusammen, wobei en d die Kurzschrift (A.110) für e −1 n d ist, ea n en d = δa d .
Ist die Eichtransformation ein Wechsel des Koordinatensystems, so gilt wegen
T ′ m... n... = T(∂ ′ m, . . .,dx ′ n , . . .) und ∂ ′ m = ∂xr
∂x ′m∂r sowie dx ′ n =
für Torsion und Krümmung
T ′ kl m (x ′ (x)) = ∂xr
∂x ′k
∂xs ∂x ′l
′ m ∂x
∂xt Trs t (x) , R ′ klm n (x ′ (x)) = ∂xr
∂x ′k
∂xs ∂x ′l
∂xt ∂x ′m
n ∂x′
dxs
∂xs (C.65)
(C.66)
′ n ∂x
∂xu Rrst u (x) .
(C.67)
Die Koordinaten x ′ und x bezeichnen hierbei denselben Punkt. Aus (C.36) entnehmen
wir die zur Basis e ′ a gehörigen Komponentenfunktionen der Konnektion
ω ′ ab c e ′ c = De ′ a e′ b
(C.63)
= D(Ma d ed)(Mb c ec) = Ma d Dd(Mb c ec)
= Ma d (ed m ∂mMb c + Mb e ωde c )ec
= Ma d (ed m ∂mMb f + Mb e ωde f )M −1 f c e ′ c
ω ′ ab c = Ma d Mb e ωde f M −1 f c − Ma d Mb e ed m ∂mM −1 e c .
(C.68)
Beim letzten Schritt haben wir die Gleichung (∂mMb e )M −1 e c = −Mb e ∂mM −1 e c verwendet,
die man durch Ableiten von Mb e M −1 e c = δb c zeigt.
Die Komponentenfunktionen der Konnektion bezüglich einer Koordinatenbasis ∂m
schreibt man als Γkl m und nennt sie affine Konnektion im Unterschied zu den Komponentenfunktionen
ωab c , die man Spinkonnektion nennt, wenn die zugehörige Basis ea