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x Inhaltsverzeichnis
G.3 Eichsymmetrien und Noetheridentitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Doppelte Noetheridentität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Ströme und Variationsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Noetheridentität der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Noetheridentität für Punktteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Noetheridentiät der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
G.4 Algebraisches Poincaré-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
G.5 Divergenz einer permutationssymmetrischen Phasenraumfunktion . . . . 315
H Algebraische Identität 317
I Ableitung der Determinante 318
J Das Schursche Lemma 320
Literaturverzeichnis 323
Index 329
1 Die Raumzeit
Einfache geometrische Eigenschaften der Raumzeit und freier Teilchen liegen der Relativitätstheorie
zugrunde so wie Euklidische Geometrie aus einfachen Eigenschaften
von Punkten und Geraden folgt. Das Vakuum, die leere, vierdimensionale Raumzeit,
bestimmt gerade Linien und die Ausbreitung von Licht. Vernachlässigt man die Gravitation,
dann ist das Vakuum isotrop und homogen und erlaubt nicht, zwischen Ruhe und
gradlinig gleichförmiger Bewegung zu unterscheiden. Anders als Newton dachte kann es
daher in der leeren Raumzeit keine meßbare universelle Zeit geben, die den Ereignissen
an sich zukommt. Ob zwei verschiedene Ereignisse gleichzeitig stattfinden, hängt vom
Beobachter ab; ebenso wie es in Euklidischer Geometrie von einer gegebenen Richtung
abhängt, ob zwei Punkte auf einer dazu senkrechten Geraden liegen.
Die vierdimensionale Raumzeit
Einen Punkt im Raum können wir dadurch bezeichnen, daß wir angeben, wie weit er
nach rechts, nach vorn und nach oben von einem gewählten Bezugspunkt entfernt ist.
Diese Angaben heißen Koordinaten des Punktes. Man braucht drei Koordinaten, um
einen jeden Punkt zu bezeichnen. Der Raum ist dreidimensional. Die Koordinaten eines
Punktes hängen natürlich davon ab, welchen Bezugspunkt der Beobachter gewählt hat
und welche Richtungen er als rechts, vorn oder oben wählt.
Für physikalische Abläufe ist, wie im täglichen Leben bei Verabredungen, nicht nur der
Ort wichtig, an dem ein Ereignis stattfindet, sondern auch die Zeit, zu der es stattfindet.
Die Menge aller Ereignisse, die Raumzeit, ist vierdimensional, denn um ein einzelnes
Ereignis zu bezeichnen, werden vier Angaben benötigt, der Ort, an dem es stattfindet,
und die Zeit, zu der es sich ereignet.
Die vierdimensionale Raumzeit fasziniert und übersteigt unser Vorstellungsvermögen,
das wir im Alltagsleben entwickelt haben. Dabei ist es ganz einfach. Wer sich bei der
Raumzeit einen Stapel von Bildern vorstellt, wie sie zum Beispiel auf Filmrollen gespeichert
werden und die eine Abfolge von dreidimensionalen Situationen zeigen, hat die
vierdimensionale Raumzeit genauso erfaßt, wie ein Architekt, der von einem dreidimensionalen
Gebäude etliche zweidimensionale Baupläne, die Grundrisse der verschiedenen
Stockwerke und Quer- und Längsschnitte, zeichnet.
Dem entsprechend stellen wir die zeitliche Abfolge von Ereignissen in zweidimensionalen
Raumzeitdiagrammen dar. In ihnen gehört beispielsweise zum physikalischen Vorgang,
daß sich zwei Teilchen gleichförmig bewegen und in einem Ereignis zusammenstoßen,
einfach die geometrische Figur, daß sich zwei Geraden schneiden. Einer Darstellung,
die nur die Orte zeigte, könnte man nicht entnehmen, ob beide Teilchen denselben Ort
zu verschiedenen Zeiten durchlaufen und sich verfehlen.