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288 E Konforme Abbildungen
und bemerken, daß die linke Seite die Ableitung d
dα
leicht über α integriert werden
x m
x 2 ist. Daher können beide Seiten
xm (α)
x2 (α) − xm (0)
x2 (0) = αbm . (E.107)
Eigentlich konforme Transformationen sind Translationen der am Einheitshyperboloid
invertierten Punkte xm
x2 .
Schreiben wir x ′ m für xm (1) und xm für xm x′
m
(0) und lösen wir nach x ′2 auf
und bestimmen wir daraus x ′2 ,
so erhalten wir
x ′2 =
′ m x
x ′2 = xm + bmx2 x2 (E.108)
x2 (1 + 2bóx + b2x2 , (E.109)
)
x ′ m = xm + bmx2 1 + 2bóx + b2 . (E.110)
x2 Die eigentlich konforme Transformation (E.110) wird für b2 = 0 genau dann singulär,
wenn x auf dem Lichtkegel mit Ursprung bei y = − b
b2 liegt, denn es gilt (x − y) 2 =
(x + b/b2 ) 2 = 1/b2 (b2x2 + 2bóx + 1). Für b2 = 0 wird die Transformation auf der Ebene
bóx = −1/2 singulär.
E.6 Maximal konforme Mannigfaltigkeit
Da die Transformationen (E.110) singulär sind, sind sie keine invertierbaren Selbstabbildungen
des Raumes Rp,q . Vielmehr wirkt die maximale konforme Gruppe, wie die
Untersuchung ihrer Liealgebra gezeigt hat, auf einem Quotienten von M, der Überlagerung
von SO(p + 1, q + 1)/W(p, q).
Um diese Mannigfaltigkeit M zu identifizieren, betrachten wir Lichtstrahlen u in
Rp+1,q+1 , u2 = 0, u = 0,
p
(u i ) 2 p+q+1
− (u i ) 2 = 0 . (E.111)
i=0
i=p+1
Die Zerlegung von u = λe in seine Größe λ =p
i=0(u i ) 2 > 0 und seine Richtung e
p
(e
i=0
i ) 2 p+q+1
= 1 = (e
i=p+1
i ) 2 , (E.112)
zeigt, daß wir die Richtung eines Lichtstrahls als Punkt der Mannigfaltigkeit S p × S q
auffassen können.
E.6 Maximal konforme Mannigfaltigkeit 289
Lorentztransformationen bilden lichtartige Vektoren auf lichtartige Vektoren ab, und
da diese Transformationen linear sind Λ(λe) = λΛe, bilden sie die Richtungen lichtartiger
Vektoren unabhängig von der Größe der Vektoren aufeinander ab
Λ(λe) = λ ′ (λ, e)e ′ (e) , e ′ (e) =
λ
λ ′ 1
Λe =
(λ, e) λ ′ Λe . (E.113)
(1, e)
Diese Selbstabbildungen von S p × S q nennen wir Aberration.
Zur Bestimmung der Stabilitätsgruppe einer Richtung betrachten wir den Lichtstrahl
u a = δ a 0 + δ a N ∈ R p+1,q+1 , a = 0, 1, . . ., N = p + q + 1, und seine Änderung unter
infinitesimalen Lorentztransformationen δu a = Ω a bu b , Ωab = −Ωba. Die Richtung des
Vektors u a bleibt von den Lorentztransformationen ungeändert, für die δu a = ǫu a ein
Vielfaches von u a ist, für die also Ω a 0+Ω a N = ǫ(δ a 0+δ a N) gilt. Die Einschränkung besagt
Ω 0 N = ǫ = Ω N 0 für a = 0 und a = N sowie b m = Ω m 0 = −Ω m N für a = m = 1, . . .,p+q.
Dies definiert eine Unterliealgebra von (E.90)
Ω3 mn = Ω2 m l Ω1 ln − Ω1 m l Ω2 ln ,
b3 m = Ω2 m l b1 l − Ω1 m l b2 l + ǫ2b1 m − ǫ1b2 m ,
ǫ3 = 0 ,
(E.114)
nämlich die Liealgebra (E.91) der Gruppe W(p, q), die von Translationen b m Lorentztransformationen
Ωmn = −Ωnm und Dilatationen ǫ erzeugt wird. 3 Die Richtung eines
lichtartigen Vektors u a ∈ R p+1,q+1 wird von solchen Lorentztransformationen invariant
gelassen, die der Gruppe W(p, q) in 1 + 1 weniger Dimensionen ähnlich ist.
Damit ist die Mannigfaltigkeit M, die Überlagerung des Orbits SO(p+1, q+1)/W(p, q)
identifiziert, denn sie ist eindeutig und stimmt daher für p > 1 und q > 1 mit S p × S q
überein, für p = 1 oder q = 1 ist R statt S 1 zu lesen. Die maximale, konforme Gruppe
SO(p + 1, q + 1) wirkt auf S p × S q durch Aberration.
Die Metrik auf M ist bis auf einen konformen Faktor festgelegt. Dies ergibt sich daraus,
daß die metrische Dichte Γmn = g 1
dg mn als Tensordichte vom Gewicht 2
d transformiert
Γ ′ mn (x ′
) =
∂x
det
∂x ′
2
d ′ m
∂x
∂xk ′ n ∂x
∂xl Γkl (x(x ′ )) (E.115)
und bei konformen Transformationen (E.25) unverändert bleibt Γ ′ mn (x ′ ) = Γ mn (x ′ ). Da
sie durch konforme Transformationen von einem Punkt x an jeden anderen Punkt x ′ (x)
1
− von M verschleppt wird, liegt sie überall fest. Aus ihrem Inversen Γmn = g dgmn läßt
sich die Metrik
(E.116)
gmn = Ω 2 Γmn
bis auf einen konformen Faktor rekonstruieren.
3 Auf gleiche Art zeigt man durch Untersuchung der Unteralgebra δu a = 0, daß die Stabilitätsgruppe
des lichtartigen Vektors u a ∈ R p+1,q+1 der Poincaré-Gruppe ISO(p, q) ähnlich ist. Die Stabilitätsgruppe
des zeitartigen Vektor u a = δ a 0 wird von den Transformationen mit Ωa0 = −Ω0a = 0 erzeugt und
ist SO(p, q+1). Entsprechend hat der raumartige Vektor u a = δ a N die Stabilitätsgruppe SO(p+1, q).