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222 B Liegruppe und Liealgebra
Kommutator der transformierten Vektorfelder u ′ und v ′ das Transformierte des Kommutators
der ursprünglichen Vektorfelder [u ′ , v ′ ] = ([u, v]) ′ (A.154). Also bilden die linksinvarianten
Vektorfelder eine Liealgebra. Das heißt, sie bilden einen Vektorraum, in dem
ein bilineares, antisymmetrisches Produkt, die Lie-Klammer [A, B] = −[B, A], existiert,
das die Jacobi-Identität erfüllt
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 . (B.5)
Die Lie-Klammer der linksinvarianten Vektorfelder ist ihr Kommutator. Da wiederholtes
Anwenden von Vektorfeldern assoziativ ist, heben sich die zwölf Terme, die sich bei Ausschreiben
der Kommutatoren in (B.5) ergeben, paarweise weg und die Jacobi-Identität
gilt ohne weiteres.
Betrachten wir eine Basis δi, i = 1, . . .,dim(G), linksinvarianter Vektorfelder. Sie
bilden an jedem Punkt der Gruppe eine Basis des Tangentialraumes, insbesondere für
infinitesimale Transformationen, die den Tangentialraum am Einselement bilden. Der
Kommutator solcher Basiselemente ist wieder ein linksinvariantes Vektorfeld und läßt
sich als Linearkombination der Basis schreiben
Die Strukturkonstanten fij k sind antisymmetrisch und reell
[δi, δj] = fij k δk . (B.6)
fij k = −fji k
und durch die Jacobi-Identität eingeschränkt
(B.7)
fij l flk m + fjk l fli m + fki l flj m = 0 . (B.8)
Die Liealgebra heißt abelsch, falls alle infinitesimalen Transformationen miteinander
kommutieren und folglich die Strukturkonstanten verschwinden.
Da zu jeder Lösung der Jacobi-Identität (B.8) eine Liealgebra gehört und umgekehrt,
kann man die Algebren durch die Lösungen der Jacobi-Identität klassifizieren [64]. Für
die sogenannten einfachen Liealgebren sind die Lösungen vollständig bekannt. Außer
den Liealgebren, die zu den Gruppen der unitären oder symplektischen oder orthogonalen
Transformationen gehören, gibt es eine Handvoll weiterer Liealgebren, die zu den
exzeptionellen Gruppen G2, F4, E6, E7 und E8 gehören.
Durch
(B.9)
(δi, δj) = −fik l fjl k
ist in jeder Liealgebra ein Skalarprodukt erklärt, das bei halbeinfachen Liealgebren nicht
entartet ist und auf der Liegruppe eine Metrik definiert, die invariant unter Linksmultiplikation
ist.
Wirken die infinitesimalen Transformationen δi : V → V linear auf einem Vektorraum
V, so sind sie durch ihre Wirkung auf eine Basis ea festgelegt. Denn jeder Vektor u
ist eine Linearkombination u = eau a mit Komponenten u a , die wir einfachheitshalber
B.1 Linksinvariante Vektorfelder 223
nach rechts schreiben, und es gilt δi(eau a ) = (δiea)u a . Entwickeln wir die transformierten
Basisvektoren δiea
δiea = ebTi b a , (B.10)
so sind die Koeffizienten Ti b a Elemente von Matrizen Ti, die dieselben Kommutatorrelationen
wie die Basis δi erfüllen, das heißt, die Matrizen Ti stellen die Liealgebra dar
δiδjea = δi(ebTj b a) =ecTi c bTj b a = ec(TiTj) c a ,
fij k ecTk c a = fij k δkea = [δi, δj]ea =ec[TiTj] c a ,
[Ti, Tj] =fij k Tk .
(B.11)
Ein Beispiel einer nichtabelschen Liealgebra sind infinitesimale Lorentztransformationen
in d ≥ 3 Dimensionen. Sie bilden Vektoren ea, die orthonormal sind eaóeb = ηab,
auf δωea = ec ω c a ab und lassen die Skalarprodukte unverändert
0 = δωeaóeb + eaóδωeb = (ec ω c a)óeb + eaó(ec ω c b) = ω c aηcb + ηac ω c b . (B.12)
Es ist also ωab = ηacω c b antisymmetrisch (4.109)
ωab = −ωba . (B.13)
Der Kommutator mit einer zweiten solchen Transformation δω ′ea = eb ω ′b a ist wieder
eine infinitesimale Lorentztransformation, denn
[δω ′, δω]ea = δω ′(eb ω b a) − δω(eb ω ′b a) = ec(ω ′c b ω b a − ω c b ω ′ b a) = δω ′′ea ,
ω ′′c a = ω ′c b ω b a − ω c b ω ′b a , (B.14)
und ηω ′′ ist antisymmetrisch, da η −1 symmetrisch und ηω ′ und ηω antisymmetrisch sind.
Die infinitesimalen Lorentztransformationen lassen sich mit Koeffizienten ω ab = η bc ω a c
als Linearkombination 1
2 ωab lab von Transformationen lab schreiben
labec = eaηbc − ebηac = edδ d aηbc − δ d bηac. (B.15)
Wir zählen die Basis lab = −lba infinitesimaler Transformationen durch antisymmetrische
Indexpaare ab, wobei a < b die natürlichen Zahlen bis d durchlaufen. Um Verwechslungen
mit dem Kronecker-Delta δ a b (A.29) zu vermeiden, bezeichnen wir die infinitesimalen
Lorentztransformationen mit lab.
Der Kommutator zweier infinitesimaler Lorentztransformationen ist
[lab, lcd]ef = labecηdf − edηcf−lcdeaηbf − ebηaf=
=eaηbc − ebηacηdf −eaηbd − ebηadηcf − ab ↔ cd =
=−ηaclbd + ηbclad + ηadlbc − ηbdlacef .
Die infinitesimalen Lorentztransformationen genügen also der Liealgebra
(B.16)
[lab, lcd] = −ηaclbd + ηbclad + ηadlbc − ηbdlac . (B.17)