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230 B Liegruppe und Liealgebra
Gleichung (B.50) besagt, daß die Matrizen U mit Matrixelementen U a b die Gleichung
U ∗TóU = 1 oder U † = U −1 erfüllen, also unitär sind. Sie bilden die Gruppe U(N) der
komplexen, unitären N×N-Matrizen. Die Untergruppe der unitären Matrizen, deren
Determinante den speziellen Wert 1 hat, heißt spezielle unitäre Gruppe SU(N).
Die Eigenwerte λ von unitären Transformationen liegen auf dem komplexen Einheitskreis
|λ| 2 = 1, denn jeder transformierte Eigenvektor U a bz b = λz a hat unveränderte und
nichtverschwindende Länge, 0 = (U a bz b ) ∗ U a cz c − (z a ) ∗ z a = (|λ| 2 − 1)(z a ) ∗ z a .
Orthogonale Transformationen
Die Lorentzgruppe O(p, q) besteht aus den reellen, linearen, längentreuen Transformationen
Λ der Punkte x
x ′ n = Λ n m x m
(B.52)
eines reellen, N-dimensionalen Vektorraums, N = p + q, des Minkowskiraumes R p,q . Da
die Transformationen reell sind, brauchen gepunktete Indizes nicht eingeführt zu werden.
Lorentztransformationen sind längentreu, das heißt, sie lassen das Längenquadrat
x m x n ηmn invariant. Dabei sind ηmn = ηnm die Matrixelemente einer symmetrischen,
invertierbaren Matrix η, die bei geeigneter Wahl der Basis diagonal ist und die p positive
und q negative Diagonalelemente hat (A.107). Weil das Längenquadrat aller Vektoren
x m invariant ist
x ′ m x ′ n ηmn = Λ m k Λ n l ηmn x k x l = ηkl x k x l , (B.53)
ist ηmn ein numerisch invarianter Tensor
Λ m k Λ n l ηmn = ηkl . (B.54)
Daher transformiert ηnmx m , entsprechend zu (B.51), kontragredient zum Vektor x n . Um
Arbeit zu sparen, schreibt man xn für ηnmx m . Bezeichnen wir die Matrixelemente der
inversen Matrix η −1 als η mn (A.108), dann gilt umgekehrt x m = η ml xl. Diese Konvention
heißt Index Hoch- und Runterziehen
xn = ηnmx m , x m = η mn xn . (B.55)
Falls das Längenquadrat definit ist, η = −1 oder η = 1, p = 0 oder q = 0, so schreiben
wir kürzer O(N) statt O(N, 0) oder O(0, N). Dann besagt (B.54) Λ T = Λ −1 . Die Länge
wird von orthogonalen Transformationen Λ ∈ O(N) oder, weniger mathematisch klingend,
von Drehspiegelungen invariant gelassen. Unter Drehspiegelungen transformieren
Vektoren mit einem oberen Index und Vektoren mit einem unteren Index gleich, denn
Drehspiegelungen Λ sind sich selbst kontragredient, Λ T −1 = Λ.
Symplektische Transformationen
Die Gruppe der symplektischen Transformationen Sp(N) besteht aus Transformationen
x ′ n = S n m x m , (B.56)
B.2 Darstellungen 231
die eine antisymmetrische Bilinearform 〈x, y〉 = xmyn = jmn mit jmn = −jnm in einem reellen,
2N-dimensionalen Vektorraum invariant lassen. Die Bilinearform ist nicht entartet,
das heißt, jmn sind Matrixelemente einer invertierbaren Matrix. Sie hat in geeigneter
Basis die Form ,
1
j j
−1 2 = −1 . (B.57)
Solch eine antisymmetrische Matrix tritt als Poisson-Klammer der Phasenraumkoordinaten
in der Hamiltonschen Mechanik auf. Unter symplektischen Transformationen ist
jmn ein numerisch invarianter Tensor
S m k S n l j mn = j kl , (B.58)
der zum Runterziehen von Indizes verwendet werden kann. Mit der inversen Matrix j −1
werden sie wieder hochgezogen. Wie bei der Metrik η bezeichnet man die Matrixelemente
der inversen Matrix j −1 = −j einfach mit j nm und entnimmt der Indexstellung, daß es
sich um die inverse Matrix handelt
xn = j nmx m , x n = j nm xm , j nm = −j nm , j nl j lm = δ n m . (B.59)
Beim Hoch- und Runterziehen der Indizes ist auf die Reihenfolge der Indizes von j zu
achten, da j antisymmetrisch ist.
Speziell lineare Transformationen
Die speziellen, linearen Transformationen in N Dimensionen, deren Determinante den
speziellen Wert 1 haben, die also volumentreu sind, bilden die Gruppe SL(N). Sie lassen
den ε-Tensor invariant, der durch (A.60) numerisch definiert ist. Denn die Determinante
einer Matrix D ist durch
ε i1i2...iN detD = D i1 j1D i2 j2 . . .D iN jN εj1j2...jN . (B.60)
definiert (I.6). Also ist der ε-Tensor invariant, wenn die Determinante der Transformationsmatrix
D Eins ist.
Anders gelesen besagt (B.60), daß ε i1i2...iN die Komponenten einer Tensordichte vom
Gewicht 1 sind (B.45), die unter beliebigen linearen Transformationen invariant ist.
Darstellungen von SL(2, C)
Insbesondere ist im Fall N = 2 der ε-Tensor
ε αβ = −ε βα , α, β ∈ {1, 2} , ε 12 = 1 , (B.61)
invariant unter der Gruppe SL(2, C) aller linearen Transformationen eines zweidimensionalen,
komplexen Raumes, deren Determinante jeweils den speziellen Wert 1 hat. Die
Elemente dieses Vektorraumes nennen wir Spinoren. Ihre Transformation
χ ′ α = M α βχ β , M ∈ SL(2, C) , (B.62)