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16 1 Die Raumzeit
mag, in den Zustand gleicher Polarisation versetze. Der Zustand des Paares ” kollabiere“
oder werde reduziert, und das Ergebnis der Messung am ersten Photon werde auf das
zweite Photon übertragen oder, beeindruckender, quantenteleportiert. Die Zustandsreduktion
erfolge augenblicklich und daher mit Überlichtgeschwindigkeit.
Wer von diesen Behauptungen ungerührt bleibt, stellt nüchtern fest, daß die Messung
am einen Photon nichts am anderen Photon bewirkt. Dort werden Photonen vom Filter
mit gleicher Wahrscheinlichkeit absorbiert oder nicht, egal in welche Richtung der Filter
polarisiert. Durch keine Messung kann man an einem Photon feststellen, ob am anderen
Photon gemessen wurde, gemessen wird oder gemessen werden wird, geschweige denn,
in welche Richtung und mit welchem Ergebnis.
Daß das zweite Photon in Richtung a polarisiert ist, wenn das erste Photon durch
seinen Filter a kommt, kann man erst bestätigen, wenn man beim zweiten Filter weiß,
ob und in welcher Polarisationsrichtung das erste Photon durchgekommen ist. Diese
Information ist höchstens mit Lichtgeschwindigkeit zu bekommen.
Die offensichtliche Ursache für die Zusammenhänge der Ergebnisse bei beiden Polarisationsfiltern
ist die gemeinsame Präparation beider Photonen als Paar. Sie gelingt nur,
wenn beide Photonen am selben Ort sind. Da sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen,
wirkt sich die Präparation in späteren Messungen nicht schneller als Licht aus.
Wenn man wiederholt eine Münze wirft und jeweils an einen Empfänger einen Brief
mit dem Bild der Oberseite und an einen zweiten einen Brief mit dem Bild der Unterseite
schickt, dann erhält jeder Empfänger mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bilder der
Kopf- oder Zahlseite. Jeder Empfänger weiß augenblicklich, wenn er seinen Brief öffnet,
welches Bild der andere erhalten hat. Bei Kenntnis des Ergebnisses kollabiert die
Wahrscheinlichkeit zur bedingten Wahrscheinlichkeit, in diesem Beispiel zu Gewißheit.
Ebenso ersetzt Zustandsreduktion bei Auftreten eines Meßwertes den vorherigen Zustand
durch den bedingten Zustand, der zur bedingten Wahrscheinlichkeit derjenigen
Ereignisse gehört, in denen dieser Meßwert auftritt.
Vor Öffnen des Briefes ist der Empfänger unsicher, welches Bild er enthält, aber der Inhalt
ist eigentlich nicht unsicher, sondern nur unbekannt. Der Inhalt des Briefes liegt fest,
ob man ihn nun öffnet oder nicht. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.10) hingegen
ist ausgeschlossen, daß die Ergebnisse der Polarisationsmessungen in allen Richtungen
in jedem Einzelfall vor der Messung feststehen und daß man das Ergebnis nur deshalb
nicht vorher weiß, weil die jeweiligen Ursachen im einzelnen unbekannt sind.
Diese Unterstellung, daß die Meßergebnisse vorher festliegen, wir aber die Ursachen
nicht genügend gut kennen, scheint unwiderlegtbar, aber sie führt zu einer Ungleichung,
die experimentell überprüfbar ist.
Die Meßergebnisse verletzen die Ungleichung und widerlegen die Unterstellung.
Die Ungleichung ergibt sich aus folgender Betrachtung. Wir bedenken wiederholte
Messungen, die wir durch i, i = 1, 2, . . ., N, numerieren, und unterstellen, daß in jedem
Versuch Nummer i feststehe, ob das erste Photon durch einen Filter a kommt. Wir
werten das Ergebnis als a1 i = 1, falls das Photon durchkommt, wenn nicht als a1 i = −1.
Mit b1 i bezeichnen wir das Ergebnis, das sich im Versuch Nummer i ergäbe, wenn wir
das erste Photon mit einem Filter b mäßen. Entsprechend bezeichnen wir mit c2 i und d2 i
das Ergebnis im Versuch mit Nummer i, wenn wir mit einem Filter in Richtung c oder d
messen, ob das zweite Photon durchkommt.
Weil die Ergebnisse c2 i und d2 i entweder verschieden oder gleich sind, verschwindet
a1 i(c2 i + d2 i) genau dann, wenn b1 i(c2 i − d2 i) den Wert ±2 hat und umgekehrt. Daher
ist ihre Summe in keinem Fall größer als zwei [3]
a1 ic2 i + a1 id2 i + b1 ic2 i − b1 id2 i ≤ 2 . (1.14)
Der Mittelwert 〈a1c2〉 der Produkte a1 ic2 i der Meßergebnisse in N Versuchen ist die
Summe der einzelnen Produkte, geteilt durch N,
〈a1b2〉 = 1
N
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N
a1 ib2 i . (1.15)
i=1
Entsprechend erhalten wir die Mittelwerte der Meßergebnisse 〈a1d2〉, 〈b1c2〉 und 〈b1d2〉.
Summieren wir die Ungleichungen (1.14), und teilen wir durch N, so erhalten wir eine
Bellsche Ungleichung [10] für Mittelwerte von Produkten der Meßwerte
〈a1c2〉 + 〈a1d2〉 + 〈b1c2〉 − 〈b1d2〉 ≤ 2 . (1.16)
Den Mittelwert von a1 ic2 i können wir auch ausrechnen, indem wir für jeden möglichen
Wert, den dieses Produkt haben kann, nämlich +1 oder −1, die Häufigkeit N+ und N−
zählen, mit der er auftritt. Dann ist N+ −N− = N i=1 a1 ic2 i und 〈a1c2〉 = (N+ −N−)/N.
Es ist aber, wenn N genügend groß ist, die relative Häufigkeit N+/N die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß a1 ic2 i den Wert +1 hat und N−/N die Wahrscheinlichkeit für den
Wert −1. Die Wahrscheinlichkeit, mit der a1 ic2 i den Wert +1 hat, ist w(a, c)+w(a⊥, c⊥),
mit Wahrscheinlichkeit w(a, c⊥) + w(a⊥, c) hat das Produkt den Wert −1. Demnach gehört
zur quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.10) der Mittelwert
〈a1c2〉 = cos 2 γ − sin 2 γ = cos(2γ) . (1.17)
Er ist also durch das Skalarprodukt von Einheitsvektoren A und C gegeben, die den doppelten
Winkel wie a und c einschließen, cos(2γ) = Aó C . Ebenso sind 〈a1d2〉 = Aó D,
〈b1c2〉 = Bó C und 〈b1d2〉 = Bó D Skalarprodukte von winkelverdoppelten Einheitsvektoren.
Als Funktion der Richtungsvektoren A und B wird die Summe
〈a1c2〉 + 〈a1d2〉 + 〈b1c2〉 − 〈b1d2〉 = Aó C + Aó D + Bó C − Bó D (1.18)
maximal, falls A in Richtung von C + D zeigt und B in Richtung von C − D . Dann hat
die Summe den Wert von | C + D| + | C − D| und nimmt ihren maximalen Wert 2 √ 2 an,
falls die Einheitsvektoren C und D aufeinander senkrecht stehen.
Wählt man also c mit einem Winkel von π/8 = 22.5 ◦ zu b, a mit einem Winkel
von π/4 = 45 ◦ und d mit einem Winkel von 3 π/8 = 67.5 ◦ dann wird die Summe der
Mittelwerte maximal und hat den Wert 2 √ 2. Da Messungen diesen Wert bestätigen,
widerlegen sie die Bellsche Ungleichung (1.16).