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20 2 Zeit und Länge
B S U
tudinale Dopplereffekt. Er ist dem akustischen
Dopplereffekt verwandt, den man als jaulendes Abfallen
der Tonhöhe vorbeifahrender Polizeisirenen
oder Rennwagen hört.
Da sich gleichförmige Bewegung nicht von Ruhe
unterscheiden läßt, hängt κ nur von der Relativgeschwindigkeit
von U und B ab und nicht wie
bei Schall auch von ihrer Geschwindigkeit gegen-
τ
τ über einem Medium. Zudem hängt κ davon ab, ob
die verwendeten Uhren gleich gehen. Das kann man
einfach ablesen, wenn sie ruhen. Bewegen sie sich,
so muß man die Laufzeiten berücksichtigen, die das
Licht von beiden Uhren bis zu demjenigen braucht,
der sie abliest. Solch eine Laufzeitkorrektur erüb-
O
rigt sich aber für einen Schiedsrichter S, der wie in
Abbildung 2.2 stets mitten zwischen den Uhren ist.
Abbildung 2.2: Uhrenvergleich
Lichtpulse, die er zu einer Zeit zu B und U aussendet,
und die jeweils zurückgestreut werden, treffen
beide immer zur gleichen Zeit wieder bei ihm ein.
Da er stets gleich weit von beiden Uhren entfernt ist, sind die Lichtlaufzeiten von beiden
Uhren zum Schiedsrichter gleich.
Beide Uhren gehen gleich, wenn sie dem Schiedsrichter
gleiche Zeiten anzeigen:
B S U
t
τ = τ ′ . (2.3)
τ
t
s
O
s
τÔt t
Abbildung 2.3: Satz des Minkowski
Dies definiert geometrisch, welche Längen auf geraden
Weltlinien gegeneinander bewegter Beobachter
und Uhren gleich sind, und stimmt ausnahmslos
in allen Beobachtungen mit dem physikalischen
Verhalten gleicher, realer Uhren überein.
Wir verlängern die Weltlinien des Lichtpulses, der
von der Uhr U empfangen und reflektiert wird, wenn
sie die Zeit τ ′ anzeigt, bis zur Weltlinie des Beobachters
B und bezeichnen in Abbildung 2.3 mit t−
und t+ die Zeiten, die die Uhr von B anzeigt, wenn
er den Lichtpuls zu U aussendet und wieder empfängt.
Wegen (2.1) zeigt die Uhr von B die Zeit
τ = κ(B, S)κ(S, B) t−
(2.4)
an, wenn der Lichtpuls wieder einläuft, der zur Zeit
t− ausgesendet wurde und der von S bei s− reflektiert wurde. Denn τ = κ(B, S) s− ist ein
Vielfaches der Zeit s−, zu der der Lichtpuls von S reflektiert wird, und s− = κ(S, B) t−
2.1 Satz des Minkowski 21
ist ein Vielfaches der Zeit t−, zu der der Lichtpuls von B ausgesendet wurde. Ebenso
folgt
t+ = κ(B, S)κ(S, B) τ . (2.5)
Also ist τ das geometrische Mittel von t− und t+
und wegen τ = τ ′ (2.3) gilt der
τ
t−
= t+
τ , τ2 = t+t− , (2.6)
Satz des Minkowski: Durchlaufen zwei gleichförmig bewegte Beobachter B und U ein
Ereignis O und stellen sie dabei ihre gleichen Uhren auf Null, so ist die Zeit τ, die auf der
Uhr von U bis zum Durchlaufen eines späteren Ereignisses E vergeht, das geometrische
Mittel derjenigen Zeit t−, die die Uhr des Beobachters B anzeigt, wenn er einen Lichtpuls
zu E aussendet, und der Zeit t+, die sie anzeigt, wenn er den Lichtpuls von E empfängt,
τ 2 = t+t− = t 2 − r 2 . (2.7)
Dieser Zusammenhang ist für die Geometrie der Raumzeit so wichtig wie der Satz des
Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 für die Euklidische Geometrie. Nach dem Satz des Pythagoras
sind in der Ebene alle Punkte auf einem Kreis gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.
Die Gleichung τ 2 = t+t− besagt, daß in Raumzeitdiagrammen Punkte gleicher zeitlicher
Entfernung vom Ursprung O auf Hyperbeln liegen.
Drei gleiche Uhren
Das Raumzeitdiagramm 2.4 zeigt, daß die Definition
gleicher Uhren stimmig ist: die Uhr des Beobachters
B3 ist der Uhr von B1 gleich, wenn sie der Uhr von B2
gleich ist und wenn die Uhr von B2 der Uhr von B1
gleich ist. Denn dann gilt t 4 = t 2 +t 2 − = t++t+−t−+t−−.
Wie in (2.4) gilt t−+ = κ(B1, B2)κ(B2, B1)t−− und
κ(B1, B2)κ(B2, B1)t+− = t++. Also gilt t 4 = t 2 ++ t2 −− ,
und die Uhr von B3 ist der Uhr von B1 gleich. Sind
zwei Uhren einer dritten gleich, so sind sie einander
gleich.
Dies gilt auch, wenn die Weltlinie von B1 nicht in
der Ebene verläuft, die von B2 und B3 aufgespannt
wird. Denn die Weltlinie von B1 kann in diese Ebene
gedreht werden, ohne den Gang der Uhr zu ändern.
Konstruktion des Schiedsrichters
t
t
t
B1 B2 B3
t
t
t
Abbildung 2.4: Drei gleiche Uhren
Um die Weltlinie des Schiedsrichters zwischen zwei Beobachtern U und B zu konstruieren,
zeichnet man durch einen Punkt τ ′ auf einer ihrer Weltlinie die Lichtstrahlen und
t