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214 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Weil das Tensorprodukt U ⊗ V dual zu den Tensoren über U und V sind, können
Tensoren umgekehrt auch als lineare Abbildungen von U ⊗ V gedeutet werden, die auf
Tensorprodukte gemäß
T(u ⊗ v) = (u ⊗ v)(T) = T(u, v) (A.118)
wirken und auf Summen und Vielfachen von Tensorprodukten dadurch erklärt sind, daß
sie linear sind,
T(a u ⊗ v + bu ′ ⊗ v ′ ) = a T(u ⊗ v) + bT(u ′ ⊗ v ′ ) . (A.119)
Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, wohl aber assoziativ. Sei W ein dritter
Vektorraum und T eine in allen Argumenten lineare Abbildung von U × V × W in die
reellen Zahlen. Für u ∈ U, v ∈ V und w ∈ W gilt
T(u, v, w) = T(u ⊗ v, w) = T((u ⊗ v) ⊗ w) ,
= T(u, v ⊗ w) = T(u ⊗ (v ⊗ w)) .
(A.120)
Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil T bei festgehaltenem w ein Tensor über U
und V ist und das zweite gilt für Tensoren über U ⊗ V und W, das dritte Gleichheitszeichen
gilt, weil T bei festgehaltenem u ein Tensor über V und W ist und das letzte
Gleichheitszeichen gilt für Tensoren über U und V ⊗W. Da diese Gleichungen für alle T
gelten, ist das Tensorprodukt assoziativ und die Klammern sind überflüssig,
(u ⊗ v) ⊗ w = u ⊗ (v ⊗ w) = u ⊗ v ⊗ w . (A.121)
Sei (u1, u2, . . .) eine Basis von U und sei ebenso (v1, v2, . . .) eine Basis von V , dann
definiert
(ui ⊗ vj)(T) = T(ui, vj) = Tij
(A.122)
die Komponenten von T und zeigt, daß die Tensorprodukte (ui ⊗ vj) linear unabhängig
sind: jede Linearkombination c ij ui ⊗ vj mit Koeffizienten c ij verschwindet für alle
Tensoren T nur, falls alle Koeffizienten verschwinden,
(c ij ui ⊗ vj)(T) = c ij Tij = 0 ∀T ⇔ c ij = 0 ∀ i j . (A.123)
Umgekehrt sind alle linearen Abbildungen eines Tensors linear in seinen Komponenten,
L(T) = L ij Tij, also bilden die Tensorprodukte jeder Basis u1, u2 . . . von U mit jeder Basis
v1, v2, . . . von V eine Basis des Tensorproduktes: die lineare Hülle ihrer Tensorprodukte
ist das Tensorprodukt U ⊗ V
Tensorfelder
U ⊗ V = {c ij ui ⊗ vj : c ij ∈ R} . (A.124)
Wir betrachten im folgenden nur noch Tensoren, die von mehreren Vektoren des Tangentialraumes
und von mehreren dualen Vektoren abhängen. In einer Mannigfaltigkeit
mit Punkten x sind reelle Tensorfelder T(u, . . ., v, ω, . . ., χ) der Stufe (r, s) an jedem
Punkt x Abbildungen von Tx r ∗ s × Tx → R, die in jedem Argument linear sind und r
Vektoren u, . . ., v am Punkt x und s duale Vektoren ω, . . ., χ am Punkt x in die reellen
Zahlen abbilden.
Tensorfelder treten auf viele Arten in der Geometrie auf, wann immer eine geometrische
Größe proportional zu Vektoren ist, wie zum Beispiel Differentialformen, das
Skalarprodukt uóv = gmnumvn von Vektoren oder die Krümmung, die linear von den
Kanten eines Flächenelementes abhängt. p-Formen sind Tensoren der Stufe (p, 0), die
Feldstärke ist ein liealgebrawertiger Tensor der Stufe (2, 0) und die Krümmung zeigt
sich am Riemanntensor, einem Tensor der Stufe (3, 1). Funktionen (A.7) sind Tensorfelder
der Stufe (0, 0) und heißen, wenn man ihr Transformationsgesetz betonen will,
Skalarfelder.
Weil Tensoren in jedem Argument linear sind, haben sie in einer Basis ea, in der sich
Vektoren als u = uaea mit Komponenten ua schreiben, und in der sich duale Vektoren
mit Komponenten ωa in der dualen Basis ea als ω = ωaea schreiben, die Form
b1...bs a1 ar T(u, . . ., v, ω, . . ., χ) = Ta1...ar u . . .v ωb1 . . .χbs . (A.125)
Dabei sind alle Komponentenfunktionen am jeweiligen Punkt x zu nehmen. Die Komponentenfunktionen
des Tensors erhält man, wenn man als Argumente u, . . .,v, ω, . . ., χ
die Basisvektoren ea1, . . .,ear, e b1 , . . .,e bs einsetzt
215
b1...bs
Ta1...ar (x) = T(ea1, . . .,ear, e b1 , . . .,e bs )|x . (A.126)
Insbesondere sind die Komponenten in einer Koordinatenbasis
n1...ns
Tm1...mr (x) = T(∂m1, . . ., ∂mr, dx n1 , . . ., dx ns )|x . (A.127)
Dasselbe Tensorfeld hat im Koordinatensystem x ′ (x) wegen (A.17) und (A.33) in der
Koordinatenbasis die Komponentenfelder
T ′ l1...ls ′ ∂x
(x ) = k1...kr
m1
′ l1 ls
∂xmr ∂x ∂x′ n1...ns ′
. . . . . . Tm1...mr (x(x )) . (A.128)
∂x ′ k1 ∂x ′ kr n1 ns ∂x ∂x
Diese lineare Transformation der Tensorkomponentenfelder heißt Tensortransformation.
Am Indexbild der Tensorkomponenten läßt sich ablesen, welche Produkte von Jacobimatrizen
auftreten, zum Beispiel transformieren die Komponenten der Metrik, wie ihr
Indexbild anzeigt, mit zwei Jacobimatrizen ∂x
∂x ′, g ′ mn(x ′ ) = ∂xk
∂x ′m
∂xl ∂x ′ngkl(x(x ′ )).
Wir bezeichnen mit g den Betrag der Determinante der Matrix g.. mit Elementen gmn
(I.14). Das Transformationsgesetz der Metrik besagt g ′ = (det ∂x
∂x ′) 2g. Daher definiert
√ 1 d ′ 1 ′ d ∂x
gdx . . .dx wegen dx . . . dx det ∂x ′ = dx1 . . .dxd für orientierungstreue Transformationen
mit det ∂x
∂x ′ > 0 eine Differentialform vom Grad d, das Volumenelement
g ′ dx ′ 1 . . .dx ′ d = √ g dx 1 . . . dx d . (A.129)
Falls die Basisvektoren ∂m aufeinander senkrecht stehen, ist √ g das Produkt der Kantenlängen
der d-Zelle (∂1, ∂2, . . .,∂d). Allgemeiner kann man mit einer linearen Abbildung
L die d-Zelle auf eine Zelle mit senkrechten Kanten abbilden. Dabei ändert sich das Volumen
und √ g um denselben Faktor det L. Es ist daher √ g in jedem Fall das metrische
Volumen der d-Zelle.